En mi libro de texto hay una tarea en la que tengo que probar la relación \begin {ecuación} AB=BA \Leftrightarrow A^2B^2=B^2A^2. \end {ecuación} Para ( $ \Rightarrow $ ) es fácil \begin {ecuación} AB=BA \Rightarrow (AB)^2=(BA)^2 \Rightarrow ABAB=BABA \Rightarrow BBAA=AABB. \end {ecuación} Pero, ¿cómo puedo probar ( $ \Leftarrow $ )?
Respuestas
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k0pernikus
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Si estás familiarizado con el cuaterniones y el hecho de que tengan representaciones matriciales una forma fácil de ver que la implicación inversa es falsa es considerar el hecho de que
$$i^2 = j^2 = k^2 = -1$$
(y por lo tanto los cuadrados de las unidades de cuaternario conmutan) pero que $i$ , $j$ y $k$ ellos mismos no viajan. Estas relaciones de no conmutación se trasladarán a cualquier representación de la matriz.
GmonC
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114
La implicación $ \Leftarrow $ es tan obviamente falsa que me sorprende que uno se haga esta pregunta. Aunque la conmutación de matrices puede surgir de muchas maneras, una de las más simples es cuando una de las matrices es una matriz escalar (múltiplo de la identidad). Así que si $ \Leftarrow $ si fuera cierto, significaría al menos que cuando $A^2$ es una matriz escalar entonces $A$ viaja con todas las demás matrices $B$ Esto claramente no puede ser verdad.
Hay una multitud de tipos de matrices cuyo cuadrado es escalar sin ninguna razón para que la propia matriz conmute con todas las demás matrices: la matriz de cualquier operación de reflexión ( $A^2=I$ ), la de una rotación de un cuarto de vuelta $(A^2=-I$ ), o una matriz nilpotente de índice $~2$ (es decir, $A \neq0 $ pero $A^2=0$ ). Esto da muchas opciones para un contraejemplo. (De hecho, la única manera $A$ puede viajar con todas las demás matrices es para $A$ para ser escalar en sí mismo, pero no necesitas saber este hecho para encontrar contra-ejemplos para ' $ \Leftarrow $ '.)
