Aunque esto es sólo una respuesta parcial, espero que sirva al menos como un paso en la dirección correcta para probar lo que necesitas.
Primero, para trabajar con algo más concreto, sustituí las expresiones de $f_n(x)$ en $F_m(x)$ y luego eso en $G_m(x)$ para obtener un conjunto explícito de funciones:
$$F_m(x) = \sum\limits_{n=1}^mn^2x(2\pi n^2x - 3)\exp(-n^2\pi x)$$ $$G_m(x) = \sum\limits_{n=1}^mn^2x(2\pi n^2x - 3)\exp(-n^2\pi x) + \sum\limits_{n=1}^m\frac{n^2}{x}\left(\frac{2\pi n^2}{x} - 3\right)\exp\left(-\frac{n^2\pi}{x}\right)$$ Si bien esta clase de funciones es particularmente desagradable, podemos hacer algunos caminos para probar los límites propuestos $m + 1 > x_0(m) > m + 2$ aguantar. (Por cierto, las desigualdades se invierten aquí que en su pregunta, ya que la función $G_m(x)$ es positivo y disminuye en $x_0(m)$ de la zona, por lo que $G_m(m + 1) > G_m(m + 2)$ , con lo que el primero es el límite superior y el segundo el inferior, y no al revés).
Así que básicamente lo que tenemos que demostrar es que $G_m(m + 1)$ es siempre positivo para todos los $m$ y $G_m(m + 2)$ es siempre negativo, por lo tanto por el teorema del valor intermedio (ya que la función en cuestión es continua), $G_m(x)$ tiene una raíz entre $m + 1$ y $m + 2$ .
Sustituyendo en $x = m + 1$ para la función, obtenemos:
$$G_m(m + 1) = \sum\limits_{n=1}^mn^2(m + 1)(2\pi n^2m + 2\pi n^2 - 3)\exp(-n^2\pi (m + 1)) + \sum\limits_{n=1}^m\frac{n^2}{m + 1}\left(\frac{2\pi n^2}{m + 1} - 3\right)\exp\left(-\frac{n^2\pi}{m + 1}\right)$$ Si podemos demostrar que cada factor de cada suma es siempre positivo, entonces toda la suma es positiva y por tanto las funciones son siempre positivas en ese punto. (En realidad, ese sería el mejor caso de que satisfaga una condición suficiente pero no necesaria; puede tener algunas sumas negativas siempre que el valor total de los términos positivos sea mayor que el de los negativos).
A partir de la primera suma, factor por factor:
1er sumatorio, 1er factor: $n^2$
Como el cuadrado de cualquier número es siempre positivo, $n^2$ es positivo.
1ª suma, 2º factor: $m + 1$
Obviamente $m$ es un número positivo por definición, por lo que $m + 1$ también es siempre positivo.
1er sumando, 3er producto: $(2\pi n^2m + 2\pi n^2 - 3)$
$2\pi n^2m + 2\pi n^2$ debe ser mayor que 3 para que este factor sea positivo. Tomando el caso "más bajo" de $n = m = 1$ obtenemos $2\pi + 2\pi = 4\pi,$ y $4\pi > 3$ por lo que este factor siempre será positivo.
1ª suma, 4º producto: $\exp(-n^2\pi (m + 1))$
Un término exponencial nunca es negativo o cero.
Ahora, pasamos a la segunda suma:
2da. suma, 1er. producto: $\frac{n^2}{m + 1}$
$n^2$ y $m + 1$ son siempre positivos, por lo que su cociente también lo es.
2ª suma, 2º producto: $\frac{2\pi n^2}{m + 1} - 3$
Por desgracia, aquí nos encontramos con problemas. Tomando el caso $n = 1, m = 2$ vemos que el término resultante es negativo. ¿Cuándo será negativo? Al igual que el factor correspondiente en la primera suma, la fracción debe ser mayor que $3$ :
$\frac{2\pi n^2}{m + 1} > 3 \implies 2\pi n^2 > 3(m + 1) \implies n > \sqrt{\frac{3}{2\pi}}\sqrt{m + 1}$
Así, para los primeros términos de la suma, el producto será negativo, pero una vez que n es lo suficientemente grande como para satisfacer la desigualdad, el producto será positivo.
2da. suma, 3er. producto: $\exp\left(-\frac{n^2\pi}{m + 1}\right)$
De nuevo, un término exponencial nunca es negativo.
Entonces, ¿qué significa todo esto ya que no todos los términos son positivos? Lo único que significa es que tenemos que demostrar que el primer sumando es mayor que el segundo (lo que no he podido hacer), para que su diferencia siga siendo positiva:
$$\sum\limits_{n=1}^mn^2(m + 1)(2\pi n^2m + 2\pi n^2 - 3)\exp(-n^2\pi (m + 1)) > \sum\limits_{n=1}^m\frac{n^2}{m + 1}\left(\frac{2\pi n^2}{m + 1} - 3\right)\exp\left(-\frac{n^2\pi}{m + 1}\right)$$
O, si eliminamos los términos positivos del segundo sumatorio, (estoy llamando a los términos $a_n$ y $b_n$ para la 1ª y 2ª suma respectivamente)
$$\left[\sum\limits_{n=1}^ma_n + \sum\limits_{n > \sqrt{\frac{3}{2\pi}}\sqrt{m + 1}}^mb_n\right] > \sum\limits_{n < \sqrt{\frac{3}{2\pi}}\sqrt{m + 1}}^mb_n$$
Si probamos cualquiera de las dos desigualdades (la primera es más fuerte que la segunda), deducimos que la función es siempre positiva en el punto $m + 1$ . Podemos utilizar un argumento muy similar para el punto $m + 2$ para demostrar que es negativo, y así habremos demostrado los límites. Sobre la primera cuestión (si $x_0(m)$ es el cero más pequeño de $G_m(x)$ ), si tomamos que la función es decreciente desde $G_m(1)$ a $x_0(m)$ podemos demostrar que es el cero más pequeño por contradicción (y si además aceptamos que $\lim\limits_{x \to \infty} G_m(x) = 0$ entonces podemos demostrar que es el único cero). Pues supongamos que existen otros ceros más pequeños que $x_0(m)$ es decir, en el intervalo $[1, x_0(m)]$ . Como la función es continua, la única manera de que tenga un cero más pequeño es que la función caiga por debajo de cero y vuelva a subir (ya que tiene que pasar por cero en $x_0(m)$ ). Pero como la función es siempre decreciente en ese intervalo, entonces llegamos a una contradicción, ya que después del primer cero "menor" la función sería negativa y necesitaría ser creciente para volver a cruzar el eje x. Ya sé que esto dista mucho de ser riguroso, pero de cualquier manera probando los límites también se demostraría esto.
Pido disculpas por la respuesta (¡extremadamente!) larga, pero he averiguado mucho sobre esta función y no quería que se desperdiciara nada. ¡Saludos!
$n_o(m)$ y $n_1(m)$ " />
