Un niño pidió que añadir los primeros números naturales $1+2+3+...$ mientras su paciencia permitido. Como se detuvo, se dio la suma como $575$. Cuando el profesor declaró que el resultado de malo, el niño descubrió que había perdido un número de la secuencia durante la adición. ¿Cuál fue el número de la echaba de menos?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Tenemos $$1 + 2 + 3 + \dots + n = \frac{n(n+1)}{2}.$$ Los números obtenidos a partir de dichas sumas son llamados números Triangulares.
Como la respuesta del niño fue $575$, la respuesta correcta debe ser mayor que $575$ (como echaba de menos un número). El primer triangular número mayor que $575$ $595$ correspondiente a $n = 34$. Si esta era la suma que él estaba tratando de evaluar, el niño debe tener perdidas $20 = 595 - 575$. Sin embargo, si la respuesta correcta era la siguiente triangular número, $630$, correspondiente a $n = 35$, la única manera de que el niño podría haber obtenido $575$ es si extrañaba $55 = 630 - 575$, pero esto no está en la lista de los números de $1, \dots, 35$ así que él no podría haber estado tratando de sumar la primera $35$ números naturales.
Más en general, necesitamos $\frac{n(n+1)}{2} > 575$ (la suma real debe ser mayor que la suma obtuvo) y $\frac{n(n+1)}{2} - 575 < n$ (esta diferencia nos dice que el valor de la echaba de menos, y no se puede igual $n$ porque entonces habría escrito $1 + \dots + (n - 1)$ que es un número triangular, de manera que el profesor no podría haber declarado que es malo). La reescritura, debemos encontrar a $n$ tal que $$0 < \frac{n(n+1)}{2} - 575 < n\quad (\ast)$$ which only has solution $n = 34$. Therefore, we must be in the situation of the previous paragraph, so he missed the number $20$.
Añadido posterior: sólo pensé que me gustaría añadir algunos detalles aquí sobre la búsqueda de números naturales $n$ que satisfacer $(\ast)$.
En primer lugar, consideremos la mano izquierda de la desigualdad que reorganiza a $f(n) := n^2 + n - 1150 > 0$. La solución de $f(n) = 0$, obtenemos $n = \frac{-1\pm\sqrt{4601}}{2}$;$n > 0$, ignoramos $n = \frac{-1-\sqrt{4601}}{2}$. Tenga en cuenta que $\left\lfloor\frac{-1+\sqrt{4601}}{2}\right\rfloor = 33$, y tenemos $f(33) < 0$$f(34) > 0$. Por lo $f(n) < 0$$n \in \{1, \dots, 33\}$$f(n) > 0$$n \geq 34$.
La mano derecha de la desigualdad reorganiza a $g(n) := n^2 - n - 1150 < 0$. La solución de $g(n) = 0$, obtenemos $n = \frac{1\pm\sqrt{4601}}{2}$;$n > 0$, ignoramos $n = \frac{1-\sqrt{4601}}{2}$. Tenga en cuenta que $\left\lfloor\frac{1+\sqrt{4601}}{2}\right\rfloor = 34$, y tenemos $g(34) < 0$$g(35) > 0$. Por lo $g(n) < 0$$n \in \{1, \dots, 34\}$$g(n) > 0$$n \geq 35$.
Por lo tanto, $n = 34$ es el único número natural que satisface $(\ast)$.
