¿Cómo demuestro que no hay ninguna función primaria de soluciones para la ecuación diferencial $f''(x)=f(\sqrt{x}), x>0$?

Question

¿Cómo demuestro que no hay ninguna función primaria de soluciones para la ecuación diferencial $f''(x)=f(\sqrt{x}), x>0$ $C^2(0,\infty)$ soluciones de espacio?

Answer 1

Ampliación de Jack D'Aurizio la respuesta, escribir la ecuación como $f(x^2) = f''(x)$.

Si $f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$, $f(x^2) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^{2n}$ y $f"(x) = \sum_{n=2}^{\infty} n (n-1)a_n x^{n-2} = \sum_{n=0}^{\infty} (n+2) (n+1)a_{n+2} x^n $ por lo $a_{2n} = (n+2) (n+1)a_{n+2}$ y $a_{2n+1} = 0$.

Establecimiento $n = 0$, $a_0 = 2a_2$. Establecimiento $n = 1$, $a_2 = 6a+3 = 0$, por lo $a+0 = 0$. Establecimiento $n = 2$, $a_4 = 12 a_4$, lo $a_4 = 0$.

Si $n = 2k+1$, $a_{4k+2} = 0$. En particular,$a_6 = 0$.

Para $n = 4$, $a_8 = 30a_6 = 0$.

Supongamos que hay un $n > 4$ que $a_{2n} \ne 0$. Deje $m$ ser el más pequeño tal $n$. Entonces, desde el $2m > m+2 > 6$, $a_{2m} = (m+2)(m+1)a_{m+2} = 0$. Por lo tanto, no hay tal $m$, y $a_n = 0$ por ann $n$.

Por lo tanto la única solución es $f(x) = 0$ si $f(x)$ tiene un poder de expansión de la serie.

Si $f(x) = a x^b$, $f''(x) = a b (b-1) x^{b-2}$ y $f(\sqrt{x}) = a x^{b/2}$. Para que esto sea una solución, $a = a b(b-1)$ $b/2 = b-2$ o $b=4$$a=0$, así que no hay solución de este formulario.

No puede ser un no-cero solución no de estas formas, pero no sé de ninguna.

Answer 2

Se supone que una solución de $f$ se encuentra en $C^2(0,\infty)$: a continuación,$f''\in C^2(0,\infty)$, lo $f\in C^4(0,\infty)$ y así sucesivamente, por lo $f\in C^\infty(0,\infty)$.

Usando el poder de la serie de método, es fácil probar que no hay constante de soluciones analíticas en un buen barrio de cero, de modo que todas las $C^2$ soluciones pertenecen a $C^\infty\setminus C^\omega$, y no hay "primaria" de las funciones que pertenecen a este extraño espacio.

Obviamente, esto depende mucho del significado de "elementary".

Answer 3

Integrar de$1$$x$: la funcional de la ecuación se convierte en $$ \int_1^x f''(t)\ dt = \int_1^x f(\sqrt{t})\ dt $$ $$ f'(x) = f'(1) + \int_1^{\sqrt{x}} 2 u f(u)\ du $$ Integrar de nuevo: $$ f(x) = f(1) + f'(1) x + \int_1^x \int_1^{\sqrt{t}} 2 u f(u)\ du \ dt = f(1) + f'(1) x + \int_1^{\sqrt{x}} 2 (x - u^2) u f(u)\ du$$ y creo que debería ser capaz de utilizar la asignación de contracción teorema para obtener soluciones de este en un espacio adecuado de las funciones.

EDIT: Hay dos soluciones linealmente independientes en el poder de la serie en torno a $x=1$:

$ A$ 1+\frac{1}{2} \left( x-1 \right) ^{2}+{\frac {1}{96}}\, \a la izquierda( x-1 \right) ^ {4}-{\frac {1}{320}}\, \a la izquierda( x-1 \right) ^{5}+{\frac {61}{46080}}\, \left( x-1 \right) ^{6}-{\frac {863}{1290240}}\, \a la izquierda( x-1 \right) ^ {7}+{\frac {62581}{165150720}}\, \a la izquierda( x-1 \right) ^{8}-{\frac { 2767907}{11890851840}}\, \left( x-1 \right) ^{9}+{\frac {192672359}{ 1268357529600}}\, \left( x-1 \right) ^{10} + \ldots $$ y $$ x-1+\frac{1}{12}\, \left( x-1 \right) ^{3}-{\frac {1}{96}}\, \a la izquierda( x-1 \right) ^{4}+{\frac {7}{1920}}\, \a la izquierda( x-1 \right) ^{5}-{\frac {73}{ 46080}}\, \left( x-1 \right) ^{6}+{\frac {2087}{2580480}}\, \a la izquierda( x-1 \right) ^{7}-{\frac {76093}{165150720}}\, \a la izquierda( x-1 \right) ^{8}+{ \frac {6754511}{23781703680}}\, \a la izquierda( x-1 \right) ^{9}-{\frac { 706941917}{3805072588800}}\, \left( x-1 \right) ^{10} + \ldots $$

Yo esperaría que estas series tienen radio de convergencia $1$, con singularidades en $0$, pero las soluciones deben extender analíticamente a $(0,\infty)$.

EDIT: si $f$ satisface la ecuación en $(a,b)$, $0 < a < 1 < b < \infty$, entonces $f(1) + f'(1) x + \int_1^{\sqrt{x}} 2 (x - u^2) u f(u)\ du$ satisface la ecuación en $(a^2, b^2)$, y está de acuerdo con $f$$(a,b)$. Así que si hay una solución en un barrio de $1$, no es una solución en $(0,\infty)$.