De Laplace de la ecuación en coordenadas Polares, un ejemplo?

Question

Considere la ecuación de Laplace en coordenadas polares $$ \frac {1}{r} \frac {\partial} {\partial r} (r \frac {\partial U} {\partial r}) + \frac {1} {r^2} \frac {\partial^2 U} {\partial \theta^2} = 0$$ with $U(r,\theta)$ como la solución, sujeto a las condiciones de contorno:

$$U(a,\theta)=\begin{cases} 2\theta && 0 < \theta <\pi\\ 0 &&\pi< \theta < 2\pi\\ \end{casos}$$

¿Cómo podemos calcular el $\,U(0, \theta)$ ?

Answer 1

El enfoque más sencillo para evaluar el valor en $r=0$ (y debido a la forma en que Laplace de la ecuación de obras, el valor es independiente de $\theta$) es empezar por la simplificación de abajo el sistema de ecuaciones. En primer lugar, nos integramos a lo largo de $\theta$. Esto le da $$ \frac1r\frac{d}{dr}\left(r \frac{d}{dr}\int Ud\theta\right)+\frac1{r^2}\left[\frac{\partial U}{\partial\theta}\right]_b^{b+2\pi} =0 $$ De nuevo, a través de las propiedades de Laplace de la ecuación, tenemos que $\frac{\partial U}{\partial\theta}|_{\theta=b}=\frac{\partial U}{\partial\theta}|_{\theta=b+2\pi}$, excepto en la superficie, donde esta relación no puede tener dependiendo de las condiciones de frontera y la elección de $b$. Si elegimos $b=0$ o $b=\pi$, entonces la pendiente es diferente en los dos lados, y esto podría causar un problema (en realidad no, pero es mejor ser riguroso). La elección de cualquier otro valor dentro del dominio de $b$, podemos ver que el segundo término de arriba es igual a cero, y por lo tanto $$ \frac1r\frac{d}{dr}\left(r\frac{d}{dr}\int U d\theta\right) = 0 $$ Esto se puede solucionar fácilmente para obtener $$ \int U d\theta = A + \frac{B}r $$ para algunos la integración de las constantes de $A$$B$. Por las propiedades de Laplace de la ecuación de nuevo, sabemos que la solución no va a ir infinito, y por lo tanto $B=0$. Esto nos da que $\int Ud\theta$ debe permanecer constante durante toda la $r$.

En particular, hemos $$ \int_0^{2\pi} U(a,\theta)d\theta = \pi^2 $$ y así $$ \int_0^{2\pi} U(0,\theta)d\theta = \pi^2 $$ pero $U(0,\theta)=U(0,0)$ es una constante, y por lo tanto tenemos $$ U(0,\theta) = \frac\pi2 $$

Answer 2

Si utilizamos la separación de variables, podemos escribir: $u(r,\theta) = P(r) Q(\theta)$. Las condiciones de frontera para $u$ rendimiento $P(a) = U(a,\theta)$ y, debido a la periodicidad, $Q(0) = Q(2\pi)$$Q'(0) = Q'(2\pi)$. Conectar la nueva definición de $u$ en el PDE resultados en:

$$r^2 \left( \frac{1}{r P} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}r } \, r \frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}r} \right) = -\frac{Q''}{Q} = \lambda \in \mathbb{R}, $$ where the primes denote differentiation with respect the independent variable. The problem for $Q(\theta)$ tiene como solución:

\begin{align} \lambda = 0: \quad & Q = A \theta + B, \\ \lambda > 0: \quad & Q = A \cos{k \theta} + B \sin{k \theta}, \\ \lambda < 0: \quad & Q = A \cosh{\sqrt{|\lambda|} \theta} + B \sinh{\sqrt{|\lambda|} \theta}, \end{align} $k^2 = \lambda$, donde la periodicidad condición queda satisfecha. Para $\lambda = 0$ nos encontramos con $A = 0$, mientras que para $\lambda < 0$, $A = B = 0$. Para el caso de $\lambda > 0$, la única solución no trivial es la correspondiente a las $k = n = 1,2, \ldots$ (es decir, $k$ es un número entero) y por tanto:

$$ Q_n(\theta) = A_n \cos{n \theta} + B_n \sin{n \theta}$$

El problema para $P(r)$ se reduce a la solución de una ecuación de Euler, que en tratar de soluciones de este tipo, $P(r) = r^s$ rendimientos $s^2-n^2= 0$ y, por tanto,$s = \pm n$. El delimitada solución (que para los que $|P(0)|<\infty$) y está dada por:

$$ P_n(r) = C_n r^n $$

Al imponer la condición de contorno en $r=a$ usted puede encontrar la constante de integración $C_n$.

Espero que encuentre útil.

Si alguien encuentra algún error tipográfico o cualquier otro tipo de fallar en mi discutiendo el problema, por favor hágamelo saber. Saludos!

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Tenga en cuenta que podemos dejar a $n = 0$ como una solución para el caso de $\lambda = 0$ desde $Q_0(\theta) = A_0$ (que desempeña el papel de la constante de $B$)

Answer 3

Hay un enfoque mucho más simple para una pregunta como esta, ya que la función $U$ es armónico satisface el valor medio de la propiedad (mi suposición es que el $0\le r\le a$), y por lo $$U(0,\theta)=U(0,0)=\frac{1}{|B_a|}\int_{B_a(0)}U(r,\theta)\,dr\,d\theta=\frac{1}{|B_1(0)|a}\int_{\partial B_a(0)}U(a,\theta)\,d\theta$$ $$=\frac{1}{a\pi}\int_0^{2\pi}U(a,\theta)\,d\theta=\frac{1}{a\pi}\int_0^{\pi}2\theta\,d\theta=\frac{\pi^2}{a\pi}=\frac{\pi}{a}.$$ Tenga en cuenta que $U(0,\theta)=U(0,0)$, debido a la rotación de un radio de cero no hace nada.