probar esta desigualdad con $a+b+c=1$

Question

Deje $a,b,c>0,a+b+c=1$,muestran que $$\left(\sqrt{\dfrac{a+b}{c}}+\sqrt{\dfrac{b+c}{a}}+\sqrt{\dfrac{c+a}{b}}\right)^2\ge \dfrac{16}{3(a+b)(b+c)(c+a)}$$

Answer 1

Esta desigualdad creo que de algún tiempo,Ahora voy a resolver.La siguiente es mi solución.

Utilice el Titular de la desigualdad tenemos $$\left(\sqrt{\dfrac{a+b}{c}}+\sqrt{\dfrac{b+c}{a}}+\sqrt{\dfrac{c+a}{b}}\right)^2\cdot\sum_{cyc}c(a+b)^2\ge (a+b+b+c+c+a)^3$$ así $$\left(\sqrt{\dfrac{a+b}{c}}+\sqrt{\dfrac{b+c}{a}}+\sqrt{\dfrac{c+a}{b}}\right)^2\ge\dfrac{8(a+b+c)^3}{\displaystyle\sum_{cyc}c(a+b)^2}=\dfrac{8}{6abc+\displaystyle\sum_{cyc}c(a^2+b^2)}$$ esto es suficiente para mostrar que $$\dfrac{8}{6abc+\displaystyle\sum_{cyc}c(a^2+b^2)}\ge\dfrac{16}{3(a+b)(b+c)(c+a)}$$ desde $$(a+b)(b+c)(c+a)=2abc+\sum_{cyc}c(a^2+b^2)$$ basta para mostrar $$\sum_{cyc}c(a^2+b^2)\ge 6abc$$ es evidente AM-GM de la desigualdad Por El Hecho