Convergencia absoluta de la serie de fourier

Question

Digamos que tengo un seccionalmente continua, la función que tiene la serie de fourier $\sum_n\ c_{n}e^{inx}$ y supongo que $ \sum_n\ n|c_{n}|$ converge, entonces sé que la siguiente se tiene:

La serie de fourier de los derivados $\sum_n\ inc_{n}e^{inx}$ es absolutamente convergente y, por tanto, de la Weierstrass M-test sé $\sum_n\ inc_{n}e^{inx}$ es uniformemente convergente.

Por lo tanto, $ f' (x)=\sum_n\ inc_{n}e^{inx}$ es un continuo $2 \pi $-función periódica.

Podemos decir, entonces, que $ f(x)=\sum_n\ c_{n}e^{inx}$ es continuamente diferenciable $2 \pi $-función periódica.

Mi pregunta es la siguiente:

¿El contrario también se mantiene?

Para ser más precisos:

Si $ f(x)=\sum_n\ c_{n}e^{inx}$ es continuamente diferenciable $2 \pi $-función periódica, no se sigue que la $\sum_n\ n|c_{n}|$ converge?

Mi pensamiento sobre la materia son:

Creo que a la inversa no se sostiene, ya que hemos utilizado el de Weierstrass M-test, que es una especie de billete de ida.

He intentado construir un contra-ejemplo. Ya quiero $\sum_n\ n|c_{n}|$ a divergir, es suficiente para encontrar $c_{n}$ tal que $c_{n} \sim \frac{1}{ n^{2} } $.

Por lo tanto, si miro $ f' (x)=\sum_n\ inc_{n}e^{inx}$, está claro que necesito un continuo $2 \pi $-función periódica de tal manera que los coeficientes de fourier de la tasa de descomposición es $\frac{1}{ n } $.

Por desgracia, cada función continua traté había una coeficientes de fourier de la tasa de descomposición de $\frac{1}{ {n^{2} } } $. Los que conozco que tienen una tasa de decrecimiento de $ \frac{1}{ n } $ son funciones discontinuas.

Sus pensamientos sobre la materia son muy apreciados!

Answer 1

Aquí es un contraejemplo. Esta página web https://en.wikipedia.org/wiki/Wiener_process#Wiener_representation da la crea de forma aleatoria de la función de $$ W(t) = \zeta_0 t + \frac{\sqrt 2}{\pi} \sum_{n=1}^\infty \frac {\zeta_n \sin(n \pi t)}n $$ donde $(\zeta_n)$ es una secuencia de variables aleatorias independientes distribuidas Gaussiano de media 0, varianza 1. Esta página dice que esto es una manera de crear el movimiento Browniano en $[0,1]$. Así $$f(t) = W(t) - W(1) t = \frac{\sqrt 2}{\pi} \sum_{n=1}^\infty \frac {\zeta_n \sin(n \pi t)}n $$ se continua con probabilidad 1. Pero uno puede mostrar que $$ \sum_{n=1}^\infty \frac{|\zeta_n|}{n} $$ se aparta con probabilidad 1 (sugerencia: en primer lugar demostrar que $ \sum_{n=1}^\infty \frac{|\zeta_n|-\mathbb E|\zeta_n|}{n} $ converge mediante la prueba de Kolmogorov tres teorema de las series de https://en.wikipedia.org/wiki/Kolmogorov%27s_three-series_theorem).

Notas adicionales: Otro lugar para buscar contraejemplos es aleatoria funciones de la forma $$ f(x) = \sum_{n=-\infty}^\infty r_n a_n e^{i\pi n x} $$ donde $r_n$ son idénticamente distribuidas variables aleatorias tomando valores más o menos uno con una probabilidad de $1/2$. Si usted busca en el libro al Azar Serie de Fourier con Aplicaciones para el Análisis Armónico por Michael B. Marcus & Gilles Pisier, o en el libro Algún Azar de la Serie de Funciones, 2a Edición por Jean-Pierre Kahane, usted encontrará que las condiciones en la secuencia de $a_n$ de manera tal que la función aleatoria es continua, casi con toda seguridad. Entonces, a partir de las secuencias, que debería ser relativamente sencillo encontrar un ejemplo de que no es absolutamente la suma.

También, busque en https://en.wikipedia.org/wiki/Wiener_algebra, sino que sólo indica el nombre del espacio de funciones cuyos coeficientes son absolutamente un resumen de no dar ejemplos de funciones continuas no en el Wiener álgebra.

Answer 2

Supongamos $h$ es un periódico función continua $[0,2\pi]$ que $\sum_n |c_n| =\infty$. Definir $$ f(x) = \int_0^x \left[h(t)-\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}h(u)du\right]dt. $$ A continuación, $f$ es continuamente diferenciable y periódicos en $[0,2\pi]$ con coeficientes de Fourier $c_n(f)$ para los que \begin{align} inc_n(f) & = -\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi}f(y)(-ine^{-iny})dy \\ & = -\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi}f(y)\frac{d}{dy}e^{-iny}dy \\ & = \frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi}h(y)e^{-iny}dy = c_n(h),\;\;\; n\ne 0. \end{align} Así el problema se reduce a la consideración de la serie de Fourier de un periódico función continua $h$. Se sabe que hay un periódico función continua $h$ de manera tal que la serie de Fourier para $h$ diverge en $0$. Tal $h$ ofrece el ejemplo contrario que desee, puesto que la $\sum_n|c_n(h)| =\infty$ debe ocurrir.