deje $\xi$ ser un vector arbitrario paquete. Es $\xi\otimes\xi$ siempre orientable?

Question

Deje $\xi=(E,p,B)$ ser una línea de haz (no nec. orientable). A continuación, el producto tensor $\xi\otimes \xi$ es orientable.

Puedo obtener esta eligiendo $b\in U\cap V$, $U,V$ abierta en $B$ tal que $\phi_U:p^{-1}(U)\longrightarrow U\times \mathbb{K}^n$,$\phi_V:p^{-1}(V)\longrightarrow V\times \mathbb{K}^n$. $(b,x)\in E$. Entonces $\phi_U(b,x)=(b,u)$, $u\in \mathbb{K}^n$, $\phi_V(b,x)=(b,v)$, $v\in \mathbb{K}^n$. Entonces $\phi_V\phi_U^{-1}(b,u)=(b,v)$, $v=\lambda(b)u$. Por lo tanto para cualquier $(b,x_1\otimes x_2)\in F_b(\xi_1\otimes \xi_2)$, $\phi_V\phi_U^{-1}(b,u_1\otimes u_2)=(b,v_1\otimes v_2)=(b,\lambda(b)u_1\otimes\lambda(b)u_2)=(b,\lambda(b)^2 u_1\otimes u_2)$ por lo tanto la transición mapa es un escalar positivo múltiples y el tensor de producto está orientado a la línea de paquete.

Es mi manera correcta o no? Hay más de una manera clara para demostrar esto?

En general, vamos a $\xi$ ser un vector arbitrario paquete. Es $\xi\otimes\xi$ siempre orientable? Cómo probar? Estoy confundido. Gracias.

Answer 1

Desde que me hicieron la propaganda de Stiefel-Whitney clases de tres horas, le voy a mostrar lo fácil que es resolver su problema con ellos:

La primera Stiefel-Whitney de la clase del producto tensor de dos vectores paquetes de $\xi, \eta$ de filas $r,s$ es $$ w_1(\xi\otimes \eta)= rw_1(\eta)+s w_1(\xi) \in H^1(B,\mathbb Z/2 ) $$ and so in particular $ w_1(\xi\otimes \xi)= rw_1(\xi)+r w_1(\xi)=0 \in H^1(B,\mathbb Z/2 ) $ [recall that $H^1(B,\mathbb Z/2 )$ is a $\mathbb Z/2$-espacio vectorial].
Desde $w_1(\xi\otimes \xi)=0$, el vector paquete de $\xi\otimes \xi$ es orientable.

Edit: un bono
La fórmula que se muestra por primera Stiefel-Whitney de la clase de un producto tensor implica inmediatamente por el mismo razonamiento que el producto tensor de dos vectores paquetes tanto de las bases es orientable, independientemente de si el vector de paquetes de sí mismos son orientables o no !
No Stiefel - Whitney clases increíble ?

Answer 2

George respuesta es absolutamente correcto, pero aquí es más directo argumento, que evita la característica de clases y sólo utiliza álgebra lineal. Primero de todo, cada rango de $N$ vector paquete de $p:E\to X$ está determinado por un cocycle $\xi_{ij}: U_{ij}=U_i\cap U_j\to GL(N, {\mathbb R})$ donde $U_k$'s forma una cubierta abierta de a $X$ que trivializa el paquete de $p$. (Estas funciones son sólo los mapas de transición entre los distintos paquete de gráficos.) Por definición, el paquete de $p$ es orientable si y sólo si $det(\xi_{ij}(x))>0$ todos los $i, j, x\in U_{ij}$. Supongamos que tenemos dos vectores paquetes de $E\to X, F\to X$ donde $X$ es paracompact; en particular, se puede asumir que la vulgarización de portadas para ambos paquetes son localmente finito. Luego, por la intersección de sus banalizar cubre, podemos asumir que tienen un común la vulgarización de la cubierta. Se trata de un sencillo cálculo para comprobar que si $E, F$ vector de paquetes de más de $X$ con cocycles $(\alpha_{ij})$$(\beta_{ij})$, entonces la cocycle para su producto tensor $E\otimes F$ es $$ \gamma_{ij}(x)= \alpha_{ij}(x)\otimes \beta_{ij}(x). $$ Aquí $\otimes$ es el Kroneker tensor producto de matrices, ver, por ejemplo, aquí: Tensor de producto de matrices representa el producto tensor de la correspondiente lineal mapas. Observar además, que si $A$ $m\times m$ matriz y $B$ $n\times n$ de la matriz, a continuación,$det(A\otimes B)=(det(A))^n(det(B))^m$, ver la misma página de la wikipedia.

Por lo tanto, si $\alpha_{ij}=\beta_{ij}$ como en el OP pregunta, entonces el determinante del tensor de producto es positivo. Por lo tanto, $E\otimes E$ es orientable. Lo mismo se aplica a George comentario sobre el producto tensor de vector de paquetes, incluso de rango.

Answer 3

Si la base de que el espacio es paracompact, siempre se puede tirar de nuevo el vector paquete sobre otro espacio que la tire de nuevo de paquete se divide. A continuación, la declaración tiene por functoriality de Stiefel Whitney clases y de inyectividad del mapa. Para la base general del espacio de caso, creo que la prueba podría ser un poco involucrados, y no tengo una prueba en el momento.