¿Cómo puedo saber qué método de revolución utilizar para encontrar el volumen en el Cálculo?

Question

¿Existe alguna manera fácil de decidir qué método debo utilizar para encontrar el volumen de una revolución en Cálculo? Actualmente estoy en medio de mi segundo intento de Cálculo II, y me estoy tropezando una vez más con este concepto, que parece que debería ser bastante sencillo, pero no puedo averiguarlo. Si tengo la opción del método del disco/lavado y del método de la cáscara, ¿cómo sé cuál debo usar?

Answer 1

Lo primero que hay que entender es que no elegir directamente el método de integración: se determina qué tipo de integración será más fácil, en función de la forma de la región en cuestión, y que determina el método que se utilizará.

Dibuja la región que se gira. Luego pregúntate: ¿se corta bien en tiras verticales o funcionan mejor las horizontales?

1. Si la región tiene límites de la forma $y=f(x)$ , $y=g(x)$ , $x=a$ y $x=b$ la respuesta es casi siempre que las franjas verticales son más sencillas: para cada $x$ de $a$ a $b$ tienes una franja de longitud $f(x)-g(x)$ o $g(x)-f(x)$ dependiendo de cuál de $f(x)$ y $g(x)$ es mayor.

2. Del mismo modo, si la región tiene límites de la forma $x=f(y)$ , $x=g(y)$ , $y=a$ y $y=b$ la respuesta es casi siempre que las franjas horizontales son más sencillas: para cada $y$ de $a$ a $b$ tienes una franja de longitud $f(y)-g(y)$ o $g(y)-f(y)$ dependiendo de cuál de $f(y)$ y $g(y)$ es mayor.

3. El caso de una región limitada por $y=f(x)$ y $y=g(x)$ donde hay que resolver los puntos de intersección de las dos curvas para encontrar la extensión horizontal de la región, es realmente un caso especial de (1). Del mismo modo, si la región está limitada por $x=f(y)$ y $x=g(y)$ y tienes que resolver la extensión vertical de la región, estás ante un caso especial de (2).

Lo que quiere es una forma de cortar la región en franjas verticales u horizontales cuyos puntos finales se definan de la misma manera. Tomemos, por ejemplo, la región delimitada por $y=x$ y $y=x(x-1)$ . Si lo cortas en tiras verticales, cada tira va desde la parábola de abajo hasta la recta de arriba, por lo que la tira de cada $x$ entre $0$ y $2$ tiene su extremo inferior en $x(x-1)$ y su extremo superior en $x$ . Si lo cortaras en tiras horizontales, las que están entre $y=0$ y $y=2$ tendrían sus extremos izquierdos en la recta y sus extremos derechos en la parábola, pero los que están entre $y=-1/4$ y $y=0$ tendría ambos extremos en la parábola. Por lo tanto, se necesitaría un cálculo diferente para manejar la parte de la región por debajo de la $x$ -eje de la que se necesitaría para la parte por encima de la $x$ -eje.

Si los límites se dan en la forma $y=f(x)$ o la forma $x=f(y)$ suele ser una buena indicación: el primero tiende a ir con rodajas verticales y el segundo con rodajas horizontales. Sin embargo, no es ni mucho menos infalible, y en algunos problemas algunos límites se dan de una forma y otros de otra. Hay que siempre mira una foto de la región. Quieres rodajas cuyos puntos finales estén definidos de forma coherente, y quieres rodajas que no tengan huecos.

Una vez que hayas decidido en qué dirección cortar la región, dibuja el eje de revolución. Si es paralelo a los cortes, cada corte trazará una envoltura cilíndrica al girar sobre el eje. Si, por el contrario, es perpendicular a tus cortes, cada corte trazará una arandela o un disco al girar sobre el eje. En cualquiera de los casos, el método de integración adecuado se ha determinado automáticamente.

Answer 2

Utiliza el método que te resulte más fácil de aplicar para cada problema que encuentres. Deben dar el mismo resultado (o algo está mal en el camino que los aplique).

En la práctica, elija uno de ellos al azar hasta que adquiera suficiente experiencia para tener una idea de lo que puede funcionar mejor para el tipo de forma que está buscando. Si tu primera elección te lleva a integrales que te resultan difíciles de resolver, apártala durante un tiempo y comprueba si el otro camino es más fácil.

Siga alternando entre los dos métodos, haciendo cada vez más esfuerzos hasta que uno de ellos ceda.

Answer 3

Creo que hay algunas fórmulas estándar en el cálculo integral para calcular el volumen de revolución. Estas te ofrecen un método directo ( no sé nada sobre el método del lavavajillas) pero todavía tienes que saber trazar las curvas para aplicar las siguientes fórmulas sobre ellas:-.

$V=\pi\int_a^by^2dx$ donde $y=f(x)$ es la ecuación de la curva y $x=a$ y $x=b$ son los límites de la revolución.

$V=\pi\int_c^dx^2dy$ donde $x=g(y)$ es la ecuación de la curva y $y=c$ y $y=d$ son los límites de la revolución.

Para calcular el volumen de revolución cuando se dan las coordenadas polares, se sustituye $y=cos\theta$ y $x=sin\theta$ y calcular los límites en consecuencia. Además, hay que tener en cuenta que las fórmulas dadas sólo son válidas cuando la revolución se produce en torno al eje x o al eje y. Si la curva gira en torno a x=constante o y=constante, hay que cambiar el origen y hacer los ajustes pertinentes.