Un molino de viento ha $5$ alas y cada uno de estos es simétricamente conectado al eje y consta de dos partes.
Si en las alas del molino de viento $4$ de las piezas son de color negro, $3$ de las piezas son de color rojo, y $3$ de las piezas son de color naranja, ¿en cuántas formas puede uno, entonces el color de la molino de viento? (De diferentes maneras, cuando uno observa el molino de viento de frente y con las alas girar.)
El uso de Pólya del teorema y el hecho de que el grupo $C_n$ que consiste en la rotación de una regular $n$-polígono el ciclo de índice
$$\frac 1n\sum_{d\,|\, n} \varphi(d)t_d^{\frac nd},$$ donde $\varphi(d)=\left |\{j\,:\, 0\leq j\leq d-1,\; \textrm{gcd}(j,d)=1\}\right |$, pero observe que en este caso el número de órbitas es el doble que la de un regular $n$-polígono porque cada ala se construye a partir de dos partes.
Aquí $\sum_{ d\,|\,n}$ significa que se tiene la suma de todos los enteros $d$ tal que $1\leq d\leq n$ $n$ es divisible por $d$ y el plazo $t_d^{\frac nd}$ es debido al hecho de que en la rotación de grupo no es un elemento para que el grupo cíclico generado por ha $\frac nd$ órbitas con una longitud de $d$.
Pólya del teorema dice que si en el ciclo de índice de la variable $t_j$ es reemplazado por $b^j+r^j+o^j$, entonces el coeficiente del término $b^4\cdot r^3\cdot o^3$ es el número uno está buscando!
Mi intento:
Me puse a $n = 4 + 3 + 3 = 10$ y determina todos los divisores $d$$n$$1,2,5,10$. Ahora $\varphi (1) = 1,\,\varphi (2) = 1,\,\varphi (5) = 4,\,\varphi (10) = 4$. Conectar en la ecuación conseguí el ciclo de índice $$\frac{1}{{10}}\left( {t_1^{10} + t_2^5 + 4t_5^2 + 4{t_{10}}} \right)$$
Para el cálculo de $b^4\cdot r^3\cdot o^3$ $$\frac{1}{{10}}\left( {{{(b + r + o)}^{10}} + {{({b^2} + {r^2} + {o^2})}^5} + 4{{({b^5} + {r^5} + {o^5})}^2} + 4({b^{10}} + {r^{10}} + {o^{10}})} \right)$$
Puedo obtener el coeficiente de $b^4\cdot r^3\cdot o^3$ $420$, lo cual es incorrecto. Ahora, podría alguien explicar mi error?
