Probabilidad de las sucesivas tiradas de dados

Question

Esta es, probablemente, una simple pregunta, pero aquí voy..
Supongamos que se va a rodar una figura de seis lados (feria) dado N veces, ¿cuál es la probabilidad de que usted va a obtener al menos un conjunto de tres números consecutivos en una fila?
Esperemos que eso es suficientemente claro, pero como un ejemplo, en nueve rollos usted puede obtener:
1, 4, 2, 6, 4, 4, 4, 4, 3
Con el 4s hacer dos conjuntos de rollos consecutivos.
Gracias!

Answer 1

Deje $T$ el valor de la primera vez que esto sucede y, para cada $|s|\leqslant1$ $k$ en $\{0,1,2\}$, $u_k(s)=E_k[s^T]$ donde $k$ es el número de resultados idénticos acaba de producir. Uno está pidiendo $P_0[T\leqslant N]$. De un solo paso de Markov acondicionado, produce el habitual sistema lineal $u_0=su_1$, $u_1=s\left(\frac16u_2+\frac56u_1\right)$ y $u_2=s\left(\frac16+\frac56u_1\right)$.

La solución de este rendimientos $u_0(s)=\frac{s^3}{36-30s-5s^2}$. Existe dos números reales positivos $a$ $b$ tal que $36-30s-5s^2=36(1-as)(1+bs)$, lo $u_0(s)=\frac1{36}\frac1{a+b}s^3\left(\frac{a}{1-as}+\frac{b}{1+bs}\right)$ y, para cada $n\geqslant1$, $P_0[T=n+2]=\frac1{36}\frac1{a+b}(a^{n}-(-1)^nb^{n})$. El valor de $P_0[T\leqslant N]$ sigue.

Numéricamente, $a=\frac1{12}(5+3\sqrt5)=0.97568$, $b=\frac1{12}(-5+3\sqrt5)=0.14235$, para cada $n\geqslant1$, $P_0[T=n+2]=\frac1{18\sqrt{5}}(a^{n}-(-1)^nb^{n})$, y, al $n\to\infty$, $$ P_0[T=n]\sim\frac{7-3\sqrt5}{5\sqrt5}^n,\qquad P_0[T\geqslant n]\sim\frac{12}{5\sqrt5}^n. $$

Answer 2

El número de $N$-tuplas $\{1,2,3,4,5,6\}$ sin carreras de 3 o más valores consecutivos de la misma es $$6\sum_{j} 5^{N-j-1}{N-j\choose j}.\tag1$$ La probabilidad de que no hay tal "triple" corre es (1) dividido por $6^N,$ y esto restando de 1 te da lo que quieres.