Evaluar $\int \cos^3 x\;\sin^2 xdx$

Question

Es esto correcto? Pensé que iba a ser, pero cuando entré en wolfram alpha, me dieron una respuesta diferente.

$$\int (\cos^3x)(\sin^2x)dx = \int(\cos x)(\cos^2x)(\sin^2x)dx = \int (\cos x)(1-\sin^2x)(\sin^2x)dx.$$

vamos $u = \sin x$, $du = \cos xdx$

$$\int(1-u^2)u^2du = \int(u^2-u^4)du = \frac{u^3}{3} - \frac{u^5}{5} +C$$

Conectar de nuevo $u$, obtenemos $\displaystyle\frac{\sin^3 x}{3} - \frac{\sin^5 x}{5}$ + C

Answer 1

Sólo para la base de ella, otro de sustitución podría haber sido $u=\sin^3 x,$, en cuyo caso, $du = 3\sin^2x\cos x \ dx.$, $1-u^{2/3} = 1-\sin^2x = \cos^2x.$ $$ \begin{align*} \int \cos^3x\sin^2x \ dx &= \frac{1}{3}\int \cos^2x(3\sin^2x\cos x) dx \\ &= \frac{1}{3} \int(1-u^{2/3})du \\ &= \frac{u}{3} - \frac{u^{5/3}}{5} + C \\ &= \frac{\sin^3x}{3} - \frac{\sin^5x}{5} + C \ . \end{align*} $$

Answer 2

Tome $\sin x=t, \cos x dx=dt$ \begin{align*} \therefore \int \cos^{3}x\sin^{2}x dx &=\int \cos^{2}x\sin^{2} x\cos x dx\ &=\int (1-\sin^{2}x) \sin^{2} x \cos x dx\ &= \int (1-t^{2})t^{2} dt\ &=\int (t^{2}-t^{4})dt\ &=\frac{t^{3}}{3}-\frac{t^{5}}{5}+c\ &= \frac{\sin^{3}x}{3}-\frac{\sin^{5}x}{5}+c \end{align*}