¿Cuál es el valor de $x$ tal que $\frac{\text{d}^2y}{\text{d}x^2}=0$ donde $\frac{\text{d}y}{\text{d}x}=-ae^{-bx}y-cy+d$?

Question

¿Cómo puede usted encontrar los valores de $x$ tal que

$$\frac{\text{d}^2y(x)}{\text{d}x^2}=0$$

donde

$$\frac{\text{d}y}{\text{d}x}=-ae^{-bx}y-cy+d$$ con $$y(0)=y_0$$ y $$a,b,c,d>0$$ Si ayuda me puede aproximar $b\approx c$, actualmente estoy trabajando en una solución que utiliza ese hecho, pero parece que han fallado. Voy a publicar cualquier avances que hacer, pero actualmente estoy perplejo. La DE no es particularmente bien solucionable, como usted termina con integrales exponenciales. Este problema también es equivalente a la maximización de la primera derivada de la $y$, como sé que esta ecuación produce una forma sigmoidea. Yo también no le importaría una aproximación de las soluciones de $x$.

Mis trabajos:

Si definimos $$f(x)=ae^{-bx}+c$$ y $$g(x)=e^{\int f(x) \Bbb dx}$$ entonces nos encontramos con la $$\frac{\text{d}y}{\text{d}x}=d\frac{\text{d}}{\text{d}x} \left( \frac{d}{g(x)} \int_0^x g(s)\text{d}s \right) $$ A continuación, mediante la diferenciación de una vez y configuración es igual a cero, nos encontramos con el problema se reduce a resolver $$g^2g'+gg''\int_0^x g(s) \Bbb d s=2g'^2\int_0^x g(s) \Bbb d s$$ donde los números primos indicar la diferenciación.

Answer 1

$$\frac{dy}{dx}=-ae^{-bx}y-cy+d$$

Multiplicando ambos lados por $e^{bx}$ y la reescritura de la D. E para estar en forma

$$(ay+(cy-d)e^{bx})dx+e^{bx}dy=0$$

Deje $M(x,y)=ay+(cy-d)e^{bx} \Rightarrow M_y=a+ce^{bx}$, y $N(x,y)=e^{bx} \Rightarrow N_x=be^{bx}$, lo que significa que el D. E. no es exacto.

Vamos a encontrar un factor integrante $\mu(x)$ (sólo depende de $x$) para el que el D. E. es exacta

$$\frac{d\mu}{\mu}=\frac{M_y-N_x}{N}=\frac{a+ce^{bx}-be^{bx}}{e^{bx}}=ae^{-bx}+c-b$$

Por lo tanto, $$\ln \mu(x)= -\frac{a}{b}e^{-bx}+(c-b)x\Rightarrow\mu(x) =e^{-\frac{a}{b}e^{-bx}}\cdot e^{(c-b)x}$$

Multiplicando ambos lados de (1), por $\mu(x)$ nos exacta D. E.

Así que, vamos a $\phi(x,y)$ ser una solución de la D. E. tal que

$\frac{\partial \phi}{\partial y}=N(x,y)=e^{-\frac{a}{b}e^{-bx}}\cdot e^{(c-b)x} \cdot e^{bx}=e^{-\frac{a}{b}e^{-bx}}\cdot e^{cx} \Rightarrow \phi(x,y)=e^{-\frac{a}{b}e^{-bx}}\cdot e^{cx}y+h(x)$

ut desde $\phi_x=M(x,y)$, obtenemos que $$ e^{ - {\estilo de texto{un \sobre b}}e^{ - bx} } e^{cx} \left( {c + ae^{ - bx} } \right) y+h'(x)= aye^{ - {\estilo de texto{un \sobre b}}e^{ - bx} } e^{\left( {c, b} \right)x} + \left( {cy - d} \right)e^{ - {\estilo de texto{un \sobre b}}e^{ - bx} } e^{cx} $$

$$\Rightarrow h'(x)=-d e^{ - {\estilo de texto{un \sobre b}}e^{ - bx} } e^{cx} \Rightarrow h(x)=-d\int{e^{ - {\estilo de texto{un \sobre b}}e^{ - bx} } e^{cx} dx}$$

Por lo tanto, $$\phi(x,y)=e^{-\frac{a}{b}e^{-bx}}\cdot e^{cx}y-d\int{e^{ - {\textstyle{a \over b}}e^{ - bx} } e^{cx} dx}=C$$ where, $C$ es constante

Answer 2

No hay ninguna necesidad de integrar o uso condiciones de frontera, con lo que la introducción de nuevas constantes. Sólo se diferencian de una vez, establezca segunda derivada a cero, de manera algebraica simplificar para obtener implícita una relación entre el $x , y$ como sigue:

$$ \frac{dy}{dx}=-ae^{-bx}y-cy+d \tag{1} $$

Deje $ e^{b\,x}= u $, de modo que $ u{'}= b\, u.$ Primos denotan diferenciación con respecto a x. $ a,b,c,d $ son constantes. $ y= y _{PI} $ para el corto.

$ y^{''}$ se desvanece al $ y^{'}$ es un extremo. También si $ y^{'}$ es en un cociente de la forma, entonces, usando la Regla de cocientes,

$$ y^{'}= (\dfrac pq)^{'} = \dfrac {q p ^{'}-q^{'} p }{q^2} = 0\rightarrow \frac pq = \frac {p^{'}}{q^{'}} $$

$$ \dfrac{-a y -cyu+du}{u} =\dfrac{-ay^{'}- c ( y^{'}u + y u^2 b) + dub}{ub} \tag{2} $$

La eliminación de signo negativo

$$ \dfrac{a y + cyu-du}{u} =\dfrac{ay^{'}+ c ( y^{'} u + y u^2 b) -dub }{ub} $$

$$ aby - bcyu = a y^{'} + c u ( y^{'} + buy) \tag{3}$$

$$ by (a- c u^2 -cu )= y^{'} (a+ c u) $$

Enchufar a partir de (1)

$$ by (a- c u^2 -cu )= ( -a y/u-c y+d ) (a+ c u) \tag{4}$$

es la función implícita $ f(x,y_{PI})= 0 $ para el punto de inflexión de los loci que se pueden incluir en el sigmoide de la parcela. Para encontrar $x$ valores de las ecuaciones cúbicas han de ser resueltos más.

EDIT 1:

Para un caso en particular, tomando los valores de $ a = 1, c = d =0,$ $x_{PI}$ están en una línea paralela al eje y a una distancia de $$ x_{PI}= -\frac{log (b)}{b}. $$

De mwomath la expresión

$$ y = C Exp[ \frac{-e^{-b x}}{b}] $$

EDIT 1:

Dar un simple ejemplo, para identificar la inflexión, el locus de un dado DE:

$$ y' = - x\, y $$

Integrando, se obtiene

$$ y = C e^{\frac{-x^2}{2}} $$

que es una Gaussiana de la curva de probabilidad de la variable altura máxima $C.$

Tome la siguiente (de segundo orden) de derivados y eliminar la $y'$ para obtener:

$$ y '' = y ( 1- x^2) $$

para la flexión locus, $ y^{''}=0. $

Trazado del gráfico de la curva con varios valores de $C$, se pueden ver dos líneas nítidas paralelo al eje y $$ x = \pm 1, $$ cada uno que pasa a través del punto de inflexión de cada curva correspondiente en cualquiera de los lados.