¿Existe un no constante continua de la función $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ tal que para cualquier real algebraica de números $x$, $f(x)$ es racional?
Gracias por sus respuestas!
Respuesta
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Sí. Def n : Un orden lineal $<_S$ sobre un conjunto $S$ es de orden densos de la fib $\forall x,y\in S\;(x<_S y\implies$ $ \exists z\;(x<_Sz<_Sy)).$
Teorema.(Cantor). Si $S$ es countably infinito y $<_S$ es una orden-denso orden lineal en $S$ sin puntos finales (no $<_S$ max o min), entonces existe un orden, un isomorfismo de $S$ $Q .$
Así que vamos a $S$ ser el algebraicas reales, y deje $<_S$ será el habitual (número real) de la orden en $S.$ Deje $f:S\to Q$ ser un orden, un isomorfismo. Para no algebraicas real $r$ deje $f(r)=\sup \{f(s):r>s\in S\}.$
