He sido encargado de demostrar que no puede haber plano gráfico con 5 caras, de tal manera que dos de ellos comparten un borde.
He sido capaz de llegar a la prueba con bastante facilidad, pero el profesor dijo que este problema se supone que ser muy duro. Por lo tanto, ahora estoy dudando de la validez de la prueba y con la esperanza de que alguien pudiera comprobarlo.
La prueba:
Asumir el contrario, que existen un gráfico de $G$. Desde $G$ es plana, se puede construir un gráfico de $G^*$ dual a $G$. Cualquiera de las dos caras en $G$ comparten un borde $\implies$ dos caras en $G$ son adyacentes $\implies$ dos vértices en $G^*$ también son adyacentes (por la propiedad de la doble gráficos). Desde $G$ tiene 5 caras, $G^*$ tiene 5 vértices. Por eso, $G^*$ es un grafo completo en cinco vértices que podrían contener bucles y de bordes paralelos. Obviamente, $K_5$ es un subgrafo de $G^*$. Por lo tanto, por el teorema de Kuratowski, $G^*$ no puede ser plana, lo que contradice la propiedad de la doble gráficos (un gráfico de doble a un plano gráfico es también plana). Q. E. D.
Bueno, eso es todo. Realmente espero que alguien podría comentar sobre esta prueba, y corregir, si es malo. Gracias!
