Me encontré con un problema en Dudley's Teoría elemental de números . La parte (a) es encontrar uno $n$ de tal manera que ambos $6n+1$ y $6n-1$ son compuestos. Así que me tropecé con $n=50$ que da $299=13 \cdot 23$ y $301=7 \cdot 43$
La motivación para esto fue saber que $9|10^k -1$ y $7|10^{2k}+1$ y tratando de encontrar una potencia uniforme de diez (obviamente $300$ no es un poder de diez).
La parte (b) pide que se demuestre que hay infinitas $n$ de tal manera que ambos son compuestos.
¿Cómo mostramos esto?
Configuración $6n \pm 1 = 10^{2k} \pm 1$ no funcionó.
Miré a $(6n+1)(6n-1) = 36n^2-1 = 6(6n^2) -1$ para que pueda generar números compuestos de la forma $6m -1$ pero, ¿qué hay de la correspondiente $6m+1$ ?
¿Debería usar el resultado de (a) para generar estos pares?
Miré las soluciones para esta pregunta relacionada pero parecían concentrados en probar que ambos son prime .
Otros métodos que he considerado son el uso de la aritmética modular (aunque eso no se ha tratado en este momento en el libro) y el uso del principio del buen ordenamiento de alguna manera... (Las pistas son aceptables, ya que quiero ser un matemático autónomo, tanto como sea posible)
Añadido
Si dejamos que $n = 6^{2k} = 36^k$ Entonces $6n \pm 1 = 6^{2k+1} \pm 1$ que (por $k \geq 1$ ) factores en $(6 \pm 1)(6^{2k} \mp ... +1)$
¿Esto es correcto? Aquí estoy usando una factorización de sumas/diferencias de poderes impar, que "no ha sido cubierta" (lo cual no es en sí mismo un problema).
