En álgebra tenemos el siguiente problema a resolver:
Describir los grupos de homomorphisms de abelian grupos.
(a) $\textrm{Hom}(\mathbb{Q} / \mathbb{Z}, \mathbb{Q})$
(b) $\textrm{Hom}(\mathbb{Q}, \mathbb{Q} / \mathbb{Z})$
Así, en primer lugar, no estoy seguro, si me entienden realmente qué hacer. Supongo que sólo tengo que describir el grupo $\textrm{Hom}(\mathbb{Q/Z,Q})$, Esto significa que tengo que definir un grupo de operación y, a continuación, probar que satisface el grupo de axiomas, como closedness, la asociatividad, la existencia de inversos elemento, la existencia de un elemento de identidad, etc. Es esta idea correcta?
Si es así, me gustaría definir la operación como esta: vamos a $f,g \in \textrm{Hom}(\mathbb{Q/Z,Q})$: $$(f\odot g)(x):=f(x)+g(x), \qquad \forall x\in \mathbb{Q}.$$
para comprobar que esta operación es cerrada, tenemos que demostrar que $$f\odot g \in \textrm{Hom}(\mathbb{Q/Z,Q}), \qquad \forall f,g \in \textrm{Hom}(\mathbb{Q/Z,Q})$$
Prueba: Supongamos $f,g \in \forall f,g \in \textrm{Hom}(\mathbb{Q/Z,Q})$. A continuación,
$$\begin{array}{rclcl} (f\odot g)(x+y) &=& f(x+y)+g(x+y) & \qquad & \text{(by def of %#%#%)} \\ &=& f(x)+f(y)+g(x)+g(y) & & \\ &=& f(x)+g(x)+f(y)+g(y) & & \\ &=& (f\odot g)(x)+(f\odot g)(y). & & \text{(%#%#%)} \end{array}$$
De esta manera sólo si $\odot$ es abelian, que es obviamente cierto. También a partir de este hecho se deduce que: $\forall x,y \in \mathbb{Q/Z}$$ y, por tanto, $\mathbb{Q}$ es abelian.
Sólo queda mostrar que existen inversos y un elemento de identidad. Como elemento de identidad podríamos tomar la incrustación $$(f\odot g)(x)=f(x)+g(x)=g(x)+f(x)=(g\odot f)(x), \qquad \forall x \in \mathbb{Q/Z},$
Por la inversa hice esto: $\textrm{Hom}(\mathbb{Q/Z,Q})$, $e: \mathbb{Q/Z} \hookrightarrow \mathbb{Q}.$ , así $(f\odot g)(x)=e(x)=x$$ y así $\forall x \in \mathbb{Q/Z}$ debe ser el inverso. Es esto correcto, o estoy completamente en el mal camino?
