$\cos x+\sin x-1=0$ identidad

Question

Cómo solucionar para $\cos {x}+\sin {x}-1=0$ ? No tengo idea de cómo empezar.

Puede alguien darme algunos consejos? Hay identidad de $\cos {x}+\sin {x}$

Gracias de antemano!

Answer 1

Reescribir como:

$$\cos(x)+\sin(x)=1$$ Luego de la plaza: $$\cos^2(x)+2\cos(x)\sin(x)+\sin^2(x)=1$$ Nota importante de la identidad: $$1+2\cos(x)\sin(x)=1$$ Luego de simplificar y nota otra identidad: $$\sin(2x)=0$$

Se puede tomar desde aquí?

Answer 2

Dado $$\color{blue}{\cos x+\sin x-1=0} $$$$\implica \cos x+\sin x=1 $$ Divide both sides by $\color{blue}{\sqrt{2}}$ we get $$\frac{1}{\sqrt{2}}\cos x+ \frac{1}{\sqrt{2}}\sin x=\frac{1}{\sqrt{2}}$$ $$\cos x\cos\frac{\pi}{4}+\sin x\sin\frac{\pi}{4}=\cos\frac{\pi}{4}$$ Using formula $\color{color púrpura}{\cos\cos B+\sin\pecado B=\cos(a-B)}$, we get $$\color{green}{\cos\left(x-\frac{\pi}{4}\right)=\cos\frac{\pi}{4}}$$ As there is no information about the unknown value $x$ hence writing the general solutions as follows $$x-\frac{\pi}{4}=2n\pi\pm \frac{\pi}{4}$$$$\implica x=2n\pi\pm \frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{4}$$$$ \implies \color{blue}{x=2n\pi} \quad \text{&}\quad \color{blue}{x=2n\pi+\frac{\pi}{2}} $$ Where, $\color{blue}{n espacio \\text{es cualquier número entero}}$

Answer 3

Como $\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}\left(\cos x+\sin x\right)$ por la suma de ángulos fórmula nos encontramos con que: \begin{equation} \begin{aligned} \cos x+\sin x-1&=0\\ \implies\sqrt{2}\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)&=1\\ \implies\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)&=\frac{\sqrt{2}}{2}\\ \implies x+\frac{\pi}{4}&=\frac{\pi}{4}+2\pi n,\frac{3\pi}{4}+2\pi n\\ \implies x&=2\pi n,\frac{\pi}{2}+2\pi n \end{aligned} \end{equation} para $n\in\mathbb{Z}$.

Answer 4

$\cos x+\sin x=\sqrt2\cos\Bigl(x-\dfrac\pi4\Bigr)$, por lo tanto, la ecuación es equivalente a: $$\cos\Bigl(x-\frac\pi4\Bigr)=\frac1{\sqrt2}\iff x-\frac\pi4\equiv\pm\frac\pi4\mod 2\pi\iff x\equiv 0,\,\frac\pi2\mod2\pi.$$

Answer 5

$$ te \;\; uso \;: cos(x)= \sqrt{1-sin(x)^{2}}\; \; entonces :sea \; sin(x)=t\\ \sqrt{1-t^{2}}+t-1=0 \; \; ahora \;\;\; continuar $$