Superior semi continua, inferior semi continua

Question

cuáles de los siguientes son verdaderas?

1. $X$ ser un espacio topológico, $f_n:X\rightarrow \mathbb{R}$ es una secuencia de baja semi funciones continuas, entonces la $\sup\{f_n\}=f$ es también inferior semi continua.
2. cada real continua con valores de la función en $X$ es inferior semi continua.
3. Una verdadera valores de la función en $X$ es continua iff es USC y de la LSC.

He leído en mi curso de teoría de la medida y recordar que $3$ $1$ es cierto, aunque no puedo recordar las pruebas ahora, pero podría cualquiera me acaba de dar idea de cómo manejar $2$? Gracias.

Answer 1

Una definición que puede ser utilizado para $\small\begin{array}{c}\text{upper}\\\text{lower}\end{array}$-semicontinuity es que $f$ $\small\begin{array}{c}\text{upper}\\\text{lower}\end{array}$- semicontinua si y sólo si $$ \{x:f(x)\lessgtr\alpha\} $$ está abierto para todos los $\alpha$.

Sugerencias

1. Tenga en cuenta que $$ \{x:\sup_{n\ge1}f_n(x)\gt\alpha\}=\bigcup_{n=1}^\infty \{x:f_n(x)\gt\alpha\} $$

2. Una definición que puede ser utilizado para la continuidad es que $f$ es continua si y sólo si $f^{-1}(U)$ está abierto para abrir todas las $U$. A continuación, tenga en cuenta que $\{x:f(x)\gt\alpha\}=f^{-1}\left(\{x:x\gt\alpha\}\right)$.

3. En una manera similar a la 2. podemos demostrar que toda función continua es superior semicontinuo. Por lo tanto, sólo tenemos que mostrar que cada función que es la parte superior e inferior semicontinuo es continua. Supongamos que $f$ es la parte superior e inferior semicontinuo. Entonces $$ f^{-1}(\alpha,\beta)=\{x:f(x)\gt\alpha\}\cap\{x:f(x)\lt\beta\} $$ está abierto para todos los $(\alpha,\beta)$. Además, para cada conjunto abierto, $U$, $$ U=\bigcup_{u\U}(u-\epsilon_u,u+\epsilon_u) $$ donde $\epsilon_u\gt0$ es elegido de manera que $(u-\epsilon_u,u+\epsilon_u)\subset U$.