Delimitada la secuencia con $a_n=|a_{n+1}-a_{n+2}|$

Question

Supongamos $a_0,a_1>0$ son distintos, y $a_n=|a_{n+1}-a_{n+2}|$ todos los $n\geq 0$. Es posible que la sucesión está acotada? De mi experimento, la secuencia siempre parecen estar acotada.

Tenemos $\pm a_n=a_{n+1}-a_{n+2}$, lo $a_{n+2}=a_{n+1}\pm a_n$. Para cada una de las $n$, se puede elegir más o menos. ¿Qué podemos hacer para demostrar que la magnitud de la secuencia debe crecer?

Answer 1

Aunque puede ser demostrado $$ (*)\ \limsup_{n\to\infty} a_n = +\infty, $$ no es necesariamente el caso de que $$ \liminf_{n\to\infty} a_n = +\infty. $$ Ejemplo: $1,2,3,5,2,7,9,2,11,13,2,\ldots$.

Ahora me espectáculo $(*)$ por encima.

Sabemos: $a_0,a_1>0$. $a_0 \ne a_1$. $a_n = |a_{n+2} - a_{n+1}|$.

Claramente, $a_n\ge 0$, y para todos los $n$ (1) $a_{n+2} = a_{n+1} + a_n$, o (2) $a_{n+1} > a_n$$a_{n+2} = a_{n+1} - a_n$.

Fijar un $\epsilon>0$ tal que $a_0, a_1, \mbox{ and } |a_1-a_0|>\epsilon$.

Observar que $a_n, a_{n+1}, \mbox{ and } |a_{n+1} - a_n|>\epsilon$ todos los $n$. Para ver esto, el uso de la inducción. Es cierto que para $a_0$ $a_1$ por supuesto. Supongamos que es cierto para $a_n$$a_{n+1}$. Sabemos $$ a_{n+2} \ge |a_{n+1} - a_n| > \epsilon $$ y $$ |a_{n+2} - a_{n+1}| = a_n > \epsilon. $$ Por lo tanto, la inducción de paso está probado.

Finalmente, se observa que para todos los $n$, $a_{n+1} - a_n > \epsilon$ o $a_{n+2} - a_n > \epsilon$. Si $a_{n+1} > a_n$, $a_{n+1} - a_n > \epsilon$ por el lema que se muestra arriba. Si $a_{n+1} < a_n$,$a_{n+2} = a_n + a_{n+1}$, y por lo $a_{n+2} - a_n = a_{n+1} > \epsilon$, de nuevo por el lema anterior.

Ya que para todos $n$, $a_{n+2} - a_n > \epsilon$ o $a_{n+1} - a_n > \epsilon$, se deduce $a_n$ es arbitrariamente grande para algunas $n$.