Es posible partición de $\mathbb{N}_+$ a a *finitos* familia de conjuntos no se cierra completamente en $+$?

Question

Digamos que $A \subseteq \mathbb{N}_+$ es completamente no se cierra en $+$ si $$ \forall_{a,b \in A}[{a+b \noen Un}] $$ Es posible partición de $\mathbb{N}_+$ en un finito familia de conjuntos no se cierra completamente en $+$?

Answer 1

No. Esto es debido a los siguientes Ramsey en la teoría de principio demostrado por Schur: para cualquier $k$ existe $S(k)$ que si $\{ 1, 2, ... S(k) \}$ (esto puede ser apagado por $1$) se reparte en $k$ subconjuntos disjuntos $A_1, ..., A_k$, a continuación, algunos de los $A_i$ tiene la propiedad de que existe $a, b, c \in A_i$ tal que $a + b = c$.