La transformada de Fourier de la función en $L^{4/3}$

Question

Supongamos $f \in L^{4/3}(\mathbb{R}^2)$ e indicar su transformada de Fourier por $\mathscr{F}(f)$. Es cierto que la función $g:\mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{C}$ definido por $$g(x)=|x|^{-1}\mathscr{F}(f)(x)$$ is in $L^{4/3}(\mathbb{R}^2)$ también?

Simplemente apelar a Hausdorff-Jóvenes y Hölder la desigualdad no es suficiente.

Answer 1

Como escribí en los comentarios, esto puede ser comprobado con la Marcinkiewicz teorema de interpolación. He aquí los pasos principales:

Es bien sabido que $\mathscr{F}\colon L^1(\mathbb R^2)\to L^\infty(\mathbb R^2)$ $\mathscr{F}\colon L^2(\mathbb R^2)\to L^2(\mathbb R^2)$ está acotada. Por otra parte, la función de $x\mapsto|x|^{-1}$ reside en la debilidad de $L^2$ espacio $L^{2,\rm w}(\mathbb R^2)$. Para el operador $T$ definido por $$ Tf(x) := |x|^{-1}\mathscr{F}(f)(x) $$ obtenemos así que $T: L^1(\mathbb R^2)\to L^{2,\rm w}(\mathbb R^2)$$T: L^2(\mathbb R^2)\to L^{1,\rm w}(\mathbb R^2)$. En otras palabras, $T\,$ es de débiles tipo de $(1,2)$ y débil de tipo $(2,1)$. Ahora el Marcinkiewicz teorema de interpolación se obtiene: $\,T\,$ es de tipo fuerte $(p,q)$ (es decir, $T: L^p(\mathbb R^2)\to L^q(\mathbb R^2)$ es acotada) si $p$ $q$ son tales que $p\le q$ y $$ \frac1p = \frac\theta1 + \frac{1-\theta}2 = \frac{1+\theta}2, \quad \frac1q = \frac\theta2 + \frac{1-\theta}1 = 1-\frac\theta2, $$ donde $\theta\in(0,1)$. Para $\theta=\frac12$ obtenemos $p=q=\frac43$. Así, en particular, $g=Tf \in L^{4/3}(\mathbb{R}^2)$ todos los $f \in L^{4/3}(\mathbb{R}^2)$.