Estoy tratando de entender una clasificación de todos los Sylow $p$ subgrupos de $S_n$.
Deje $Z_p$ ser el subgrupo de $S_p$ generado por $(12\cdots p)$. A continuación, $Z_p\wr Z_p$ orden $p^p\cdot p=p^{p+1}$, y es isomorfo a un subgrupo de $S_{p^2}$.
Definir de forma inductiva $Z_p^{\wr r}$$Z_p^{\wr 1}=Z_p$$Z_p^{\wr k+1}=Z_p^{\wr k}\wr Z_p$. Es fácil demostrar por inducción que $Z_p^{\wr r}$ orden $p^{(p^{r-1}+p^{r-2}+\cdots+1)}$, y dado que por inductivamente asumiendo $Z_p^{\wr r-1}$ es isomorfo a un subgrupo de $S_{p^{r-1}}$ $Z_p$ isomorfo a un subgrupo de $S_p$, $Z_p^{\wr r}$ es isomorfo a un subgrupo de $S_{p^r}$.
Sin embargo, yo no puedo dar el salto que si $n=a_0+a_1p+\cdots+a_kp^k$ es la base de la $p$ expansión, entonces cualquier Sylow $p$-subgrupo es isomorfo a $$ \underbrace{Z_p^{\wr 1}\times\cdots\times Z_p^{\wr 1}}_{a_1}\times \underbrace{Z_p^{\wr 2}\times\cdots\times Z_p^{\wr 2}}_{a_2}\times\cdots\times \underbrace{Z_p^{\wr k}\times\cdots\times Z_p^{\wr k}}_{a_k}. $$
Sé que este grupo tiene orden de $$ (p)^{a_1}(p^{p+1})^{a_2}\cdots(p^{(p^{k-1}+p^{k-2}+\cdots+1)})^{a_k}=p^{\sum_{i=1}^k a_i(1+\cdots+p^{i-1})}=p^{\nu_p(n!)} $$ cual es el orden de cualquier Sylow $p$-subgrupo de $S_n$, basado en la fórmula aquí. Sin embargo, no podía encontrar una epimorphism de cualquier Sylow $p$-subgrupo sobre este producto, o viceversa. Es claro cómo esto es isomorfo a un subgrupo de $S_n$? Entonces entiendo que el isomorfismo acaba de seguir a partir de los teoremas de Sylow. Gracias.
