Relacionadas con la Künneth Fórmula para el Leray-Hirsch Teorema de

Question

Estoy leyendo a través de Bott Y de Tu Formas Diferenciales en Topología Algebraica, que muy pronto se analiza la Künneth fórmula y el Leray-Hirsch teorema suave de los principales paquetes. La prueba de Künneth se da explícitamente, mientras que Leray-Hirsch se dice que siga por el mismo tipo de argumento, pero añadiendo el correspondiente giros (sin juego de palabras!).

A mí me parece que las pruebas Bott Y Tu oferta son independientes uno del otro. Por lo tanto, en la presencia de la Künneth fórmula, uno podría audazmente repetir Leray-Hirsch como

Si un director paquete contiene global cohomology clases que libremente generar el cohomology de las fibras, el paquete se "ve" trivial en cohomology.

Pero esto hace que me pregunte si estoy poniendo Descartes antes de que el caballo del malo (juego de palabras que tiene previsto); que es, tal vez Künneth es realmente sólo un simple corolario de Leray-Hirsch. De hecho, este sería el caso si alguien pudiera demostrar algo a lo largo de las líneas de los siguientes:

Conjetura: Cualquier liso trivial principal paquete de $\pi: G \times B \to B$ admite global cohomology clases en $G \times B$ que libremente generar $H^*(G)$.

Así que aquí es donde no estoy seguro de cómo proceder. La trivialidad del paquete de garantías en realidad podemos definir una proyección sobre las fibras: $\rho: G \times B \to G$, lo que yo podría utilizar para la retirada cohomology clases de $G$ en el espacio total. Son estas global?

Answer 1

No estoy seguro de lo 'global cohomology de clase", pero para el Leray-Hirsch teorema yo sepa es suficiente para pedir que la inclusión de la fibra $G \rightarrow G \times B$ induce un surjection $H_{dR}^*(G \times B) \rightarrow H^*(G)$.

Pero esto es claro desde $G \rightarrow G \times B \rightarrow G$ es la identidad, y por lo $G$ es un retractarse de $G \times B$. Desde $H_{dR}^*$ es functorial toma retrae a retrae (pero lanzar las flechas), y por lo que la hipótesis de la Leray-Hirsch teorema están satisfechos, de donde tenemos $H_{dR}^*(G) \otimes H_{dR}^*(B) \cong H_{dR}^*(G \times B)$.