Existen dominios en el plano complejo con sólo trivial automorfismos?

Question

No existe dominio abierto en $\mathbb C$ que sólo tiene identidad para holomorphic automorphism?

Relacionadas con la pregunta: ¿existen dominio abierto en $\mathbb C$, de modo que cada holomorphic automorphism ha de punto fijo?

Estas preguntas fueron inspirados por (mucho más fácil!) pregunta por mathmos6.

Answer 1

Seguro. Tome $\mathbb{CP}^1$ y eliminar $5$ $(0,1,\infty, s, t)$ donde $s$ $t$ son genéricos. Cualquier automorphism de este dominio se extiende a un automorphism de $\mathbb{CP}^1$, por Riemann extensión del teorema. Que automorphism debe permutar los cinco puntos de $(0, 1, \infty, s, t)$. Para genéricos $s$$t$, no es trivial mapa en $\mathbb{P}GL_2(\mathbb{C})$ que permutes estos puntos.

Si he borrado tres puntos, no sería una $S_3$ de este tipo de mapas; si he eliminado cuatro puntos, el grupo correspondiente es $\mathbb{Z}/2 \times \mathbb{Z}/2$. Por lo tanto, si usted es feliz con la obtención de un determinado grupo de simetría, a continuación, $3$ puntos son suficientes.

Answer 2

Steven Krantz ha estudiado la automorphism grupo de dominios, y ha sido autor o coautor de algunos documentos y encuestas sobre el tema. En particular, el Capítulo 12 de su libro reciente "Geométrico Teoría de la Función", que trata precisamente con este tema y proporciona referencias adicionales. (Es un muy buen libro, por cierto!)

Aquí están algunos comentarios generales, todos ellos provienen de este Capítulo:

1. El automorphism grupo de un dominio es una Mentira Grupo (esto está demostrado en Kobayashi "Hiperbólico colectores y holomorphic asignaciones"), así que tiene sentido hablar de su dimensión.

2. El automorphism grupo de la disco es de 3 dimensiones, y 3 es de la mayor dimensión posible.

3. La única delimitada dominio cuyo automorphism grupo 1-dimensional es el anillo.

4. Un dominio con "muchos agujeros" es 0-dimensional.

5. El automorphism grupo de un dominio con al menos 2, pero sólo un número finito de agujeros es finito.

En este último caso, el cual incluye a su pregunta, fue estudiado por M. Heins en dos artículos,

"Una nota sobre un teorema de Radó relativas a la $(1,m)$ conformación de mapas de multiplicar conectado región en sí mismo", Boletín de la Sociedad Matemática Americana 47 (1941), 128-130.

"En el número de 1-1 directamente de conformación de mapas que una multiplicar-plano conectado región de finito de conectividad $p$ ($>2$) admite en sí mismo", Boletín de la Sociedad Matemática Americana 52 (1946), 454-457.

Heins encontró fuertes límites a $N(k)$ para el tamaño de la automorphism grupo de un dominio $\Omega_k$, precisamente, con $k\ge 2$ agujeros:

• $N(k)=2k$ si $k\ne 4,6,8,12,20$;
• $N(4)=12$;
• $N(6)=N(8)=24$;
• $N(12)=N(20)=60$.

En un ejercicio, Krantz describe un dominio con trivial automorphism grupo: Empezar con el "cuadro" $\{\zeta\in{\mathbb C}\mid|{\rm Re}\zeta|<2,|{\rm Im}\zeta|<2\}$, quite los cuatro cerrado discos de radio $0.1$ y centrada en $\pm1\pm i$, y "perturbar uno de los agujeros" por 0.1.

Por último, permítanme citar un párrafo al final del capítulo:

Una muy interesante abrir problema es determinar qué grupos finitos surgir como el automorphism grupos de planos dominios (hay algunos resultados para finitely regiones conectadas). Es sabido que si $G$ es un compacto de Lie del grupo, entonces hay algunas suavemente delimitada de dominio en algunos ${\mathbb C}^n$ con automorphism grupo igual a $G$. Pero es difícil decir cuán grande $n$ debe ser en términos de primaria propiedades del grupo $G$.

Krantz se cierra por mencionar dos referencias para el de arriba:

Bedford-Dadok, "Limitado dominios con lo prescrito grupo de automorfismos", Comentario. De matemáticas. Helv. 62 (1987), 561-572.

Saerens-Zame, "La isometría grupos de colectores y la automorphism grupos de dominios", Trans. Amer. De matemáticas. Soc. 301 (1987), 413-429.