Digamos que tengo un movimiento browniano, tal que conozco su valor en el tiempo 0 (0) y en el tiempo T (también 0). Estoy tratando de evaluar el tiempo que pasa por encima de 0 entre el tiempo 0 y T.
Obviamente, sé que la media de este valor es 1/2, pero ¿hay alguna forma de conocer la ley completa de esa duración? ¿O hay otros resultados teóricos conocidos para esto? Supongo que se trata de un problema bastante común, pero no consigo encontrar referencias al respecto.
Gracias.
Did me dijo que este es un resultado bien conocido, aunque al buscar en Google se confirma que no es muy fácil de encontrar en Internet (como probablemente se dio cuenta)
Para un puente browniano $X$ con $X_0=0=X_1$ la distribución es una distribución uniforme en $[0,1]$ . Este resultado se debe a Levy. Lo encontré en un libro llamado Manual de la distribución Beta y sus aplicaciones página 193.
(Pude ver la parte de este libro para esta respuesta en Google).
Obsérvese que la ley Arcsin para un movimiento browniano dice que la cantidad de tiempo que pasa un movimiento browniano por encima de $0$ es una distribución Beta con parámetros $(1/2, 1/2)$ y la distribución uniforme es la distribución Beta con parámetro $(1,1)$ .
El libro afirma que los resultados se han generalizado desde entonces, pero no da ninguna referencia.
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