Cuántas entradas en $3\times 3$ matriz con números enteros entradas y determinante igual a $1$ puede ser aún?

Question

Deje $A$ $3\times 3$ matriz con números enteros entradas, que $\det(A)=1$. En la mayoría de las entradas de $A$ puede ser aún?

Puedo obtener una posible solución como $6$ considerando el $3 \times 3$ matriz identidad. Pero no estoy seguro acerca de que es posible tener más de $6$ incluso entradas. Por favor me ayudan a enumerar este problema para demostrar mi respuesta.

Answer 1

El uso de Laplace de la expansión o de la regla de Sarrus, tenemos $$ \begin{vmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{vmatrix}=aei-afh-bdi+bfg+cdh-ceg$$

Para que esta expresión sea igual a $1$, debe ser impar, lo que significa que al menos una de las $6$ de los productos debe ser impar. Y si uno de los productos es impar, entonces todos los tres de los términos en que el producto debe ser impar.

Por lo tanto, no puede ser en la mayoría de las $6$ incluso las entradas, y la identidad de la matriz muestra que no puede ser exactamente seis.

Answer 2

Si son 7 o más entradas, se puede demostrar que el determinante es igual, ya que la expansión es una suma de los productos de tres números, uno de los cuales es siempre igual.