Entre cualesquiera dos números reales, hay un número algebraico y también un trascendental número. Entiendo lo algebraico números y trascendental números, pero ¿cómo puedo demostrar que ambos existen entre cualesquiera dos números reales?
Respuestas
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ManuelSchneid3r
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Aquí hay una manera de hacerlo sin hacer demasiado trabajo, asumiendo que usted ya sabe que entre cualquier dos reales hay un racional:
Cada racional es algebraico; por lo tanto, desde cualquier a de reales, hay una expresión algebraica real.
Mientras tanto, el conjunto de los números algebraicos es contable, pero cada intervalo no vacío $(x, y)$ es incontable. Por lo que "la mayoría de los" elementos de $(x, y)$ son trascendentales - en particular, hay al menos una! Así que entre cualquiera a de reales, hay un trascendental, así.
Ya Basha
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IanF1
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733
He aquí un ejemplo concreto de cómo construir un racional $q$ y un trascendental $t$ entre dos números reales $r_1$$r_2$.
Tomar las expansiones decimales de los dos números reales $r_1$$r_2$. En algún punto de (decir el $n$th dígitos) que debe ser diferente (de lo contrario son el mismo número).
Ahora toma el número se compone de la primera $n$ dígitos de $r_2$. Como tiene un decimal finito de expansión es racional, y claramente se encuentra entre $r_1$$r_2$. Llamarlo $q$.
Para obtener un trascendental número en el intervalo, mira la diferencia $r_2 - q$ y encontrar un racional positivo menor que esta diferencia (dice tomando su expansión decimal en cuanto al primer dígito distinto de cero). Llamarlo $d$.
Considerar un valor de $x = \frac{\pi d}{4}$. Este es trascendental e $0 < x < d$. Por lo tanto, $t = q + x$ es también trascendental e $r_1 < t < r_2$.
user254665
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Def n: Un conjunto $T\subset \mathbb R$ es denso en $\mathbb R$ fib $T\cap (a,b)\ne \emptyset$ siempre $a<b.$
Si $x$ es trascendental e $y$ es racional, a continuación, $x+y$ es trascendental.
Si $S$ es denso en $\mathbb R$ $x\in \mathbb R$ $x+S=\{x+y:y\in S\}$ es denso en $\mathbb R.$
Así que toma trascendental $x$ $S=\mathbb Q.$ $T=x+S$ es un denso conjunto de trancendentals.
