Medición de $\pi$ con métricas de distancia alternativas (p-norm).

Question

¿Cómo/por qué $\pi$ varían con diferentes métricas en p-normas? La pregunta completa está abajo.

Antecedentes

Hace tiempo hice una investigación sobre Geometría del taxi utilizando la geometría básica. Una de las cosas que recuerdo es que un círculo (definido por todos los puntos a igual distancia de un punto central) "parece" un diamante. La "circunferencia" de este círculo es 8. Como extensión, he mirado otras métricas de la forma:

$$D_n\left((x_1,y_1),(x_2,y_2)\right)=(|x_2-x_1|^n+|y_2-y_2|^n)^\frac{1}{n}$$

(Mi limitada lectura de la wikipedia sugiere que debería llamar a esto una p-norma).

Más recientemente, utilizando diferentes valores de $n$ He calculado la "circunferencia" de los círculos unitarios en estas métricas. Tomé la definición de un círculo unitario como todos los puntos a una distancia de una unidad del origen. Esto me dio una fórmula para un semicírculo:

$$y=\left(1-|x|^n\right)^\frac{1}{n}$$

Tomé la fórmula normal de longitud de arco de:

$$\int_a^b\sqrt{1+\left(\frac{dy}{dx}\right)^2}$$

y sustituyó todos los poderes de $2$ con poderes de $n$ para conseguirlo:

$$\int_a^b\left(1+\left|\frac{dy}{dx}\right|^n\right)^\frac{1}{n}$$

Combinando el círculo con la fórmula de la longitud de arco (y tomar un cuarto de círculo y multiplicarlo por 4 dio) la siguiente integral:

$$4\int_0^1\left(1+\left|\frac{d}{dx}\left(1-x^n\right)^\frac{1}{n}\right|^n\right)^\frac{1}{n}dx$$

Entonces $\pi(n)$ se encuentra dividiendo la "circunferencia" por dos (el doble del radio). Al hacerlo, se obtiene este gráfico de $\pi(n)$ contra $n$ .

Curiosamente $n=2$ es un mínimo (tanto local como absoluto) que hace que nuestro valor comúnmente considerado de $\pi$ especial.

Pregunta

(EDIT) Pregunta de matemáticas: ¿Es correcta mi fórmula de distancia para una métrica diferente? (El comentario de Moishe Cohen sugiere que podría no serlo).

Pregunta de matemáticas: Asumiendo que las matemáticas anteriores están bien, ¿hay alguna razón para $(2,\pi)$ ¿es un mínimo?

Pregunta de matemáticas/filosofía: Suponiendo que lo anterior esté bien, ¿es por esto que observamos la métrica $D_2$ en el mundo real?

Nota

No he estudiado formalmente la métrica, los tensores o los espacios vectoriales o temas relacionados (pero estoy encantado de hacer alguna lectura ligera si su respuesta lo requiere).

Answer 1

Pregunta de matemáticas: Asumiendo que las matemáticas de arriba están bien, ¿hay alguna razón para que (2,) (2,) sea un mínimo?

El $p=2$ es el único p-norma que tiene el $SO(3)$ Grupo Mentira estructura. En otras palabras, es invariante de la rotación. Pruébalo, puedes rotar el sistema de coordenadas sin cambiar la longitud. No puedes hacer eso con la métrica Taxicab, la longitud que obtienes cambiará.

La respuesta profunda a su pregunta es que sólo $p=2$ tiene una simetría continua, la rotación. Todas las demás p-normas tienen un número finito de simetrías o simetrías. La cuestión es que un círculo p-unitario es algo así como todos los vectores posibles que se pueden generar a partir del grupo pegados entre sí. Imagina que empiezas con un pequeño vector, lo copias y lo giras un poco, lo unes al vector original y repites con la copia. Al final, generarás el círculo. Generas cualquiera de los círculos de la norma p mediante un proceso similar utilizando su simetría, aunque un poco más opaco. Entonces, ¿por qué $p=2$ especial? El círculo se construye con los vectores más cortos, y sólo con los vectores más cortos disponibles para construirlo. ¿Por qué? Porque todos tienen la misma longitud. Esto no es cierto a menos que sea rotacionalmente invariante y ¿adivina qué? Sólo $p=2$ ¡¡es!!

Pregunta de matemáticas/filosofía: Suponiendo que lo anterior esté bien, ¿es por esto que observamos la métrica D2
D2 en el mundo real?

Un repaso rápido a la física. En física, tienes una teoría descrita por un lagrangains que describe la cantidad de acción de las partículas durante un periodo de tiempo. Es una función escalar de la distancia, la velocidad y el tiempo. Las simetrías del lagrangiano corresponden a cantidades conservadas según Teorema de Noether . En la mecánica clásica estándar, asumimos tres cosas,

(1) La acción de una partícula que se mueve a través de alguna trayectoria a lo largo del espacio no cambia si se desplaza el inicio del movimiento hacia adelante o hacia atrás en el tiempo. (La energía se conserva)

(2) La acción no cambia si se traslada el inicio del movimiento a otro lugar. (El momento se conserva)

(3) La acción no cambia si se gira el movimiento de la partícula. (El momento angular se conserva)

De este último no se habla mucho, pero es muy importante y muy relevante para nuestra discusión. Dado que nuestra lagrangiana, la teoría para nuestra teoría física, es invariante bajo rotación, nunca puede haber una dirección preferida en nuestra teoría. Esto significa que la métrica que utilizamos para medir la distancia y la velocidad también debe ser invariante bajo rotación. La página web $p=2$ es la única norma p que funcionará.

Answer 2

Tras leer (lo mejor que puedo entender) las diversas preguntas/respuestas relacionadas enlazadas por otros y otros enlaces de esas respuestas he llegado a la siguiente respuesta.

En primer lugar, hay otras dos formas de escribir la integral para $pi_n$ :

• De Michael en este responder .

$$2\int_0^1\left(1+\left(\frac{x^n}{1-x^n}\right)^{n-1}\right)^\frac{1}{n}dx$$

• De: Adler, C., y Tanton, J. (2000). es el valor mínimo de Pi . The College Mathematics Journal, 31(2), 102-106. doi:10.2307/2687579Co

$$4\int_0^1\frac{1}{n}\left(x^{1-n}+(1-x)^{1-n}\right)^\frac{1}{n}dx$$

Adler y Tanton también demuestran que se produce un mínimo cuando $2-\frac{1}{n}=1+\frac{1}{n}$ lo que lleva al valor de $n=2$ siendo un mínimo. Para otros curiosos sobre esta cuestión, recomiendo la lectura de este documento. (Puedes crear una cuenta gratuita para leerlo si no tienes acceso a JStor).

Concluyen su documento con la propuesta no probada de que $\pi_n=\pi_m$ si $\frac{1}{n}+\frac{1}{m}=1$ . Veré qué puedo hacer con ese problema.

Edición: Una idea interesante: Si $\pi_\frac{1}{n}=\pi_{1-\frac{1}{n}}$ entonces $\pi_n$ puede definirse para valores negativos.

Answer 3

La definición de la norma p es, para un vector $\vec{x}$ en $n$ espacio dimensional, $$\|\vec{x}\|_p = \left( \sum_{i = 0}^n |x_i|^p \right)^{1/p}$$ donde $x_i$ es el $ith$ entrada del vector $\vec{x}$ . La métrica que has llamado "norma p" es efectivamente la métrica inducida por la norma p, y se generaliza a $n$ espacios dimensionales de la siguiente manera: $$d(\vec{x}, \vec{y}) = \|\vec{x} - \vec{y}\|_p = \left( \sum_{i = 0}^n |x_i - y_i|^p \right)^{1/p}.$$

Lo aprendí de Fundamentos de Matemática Aplicada, Volumen I por Tyler Jarvis, Jeffrey Humphries y Emily Evans. Lamentablemente aún no se ha publicado, pero lo hará dentro de unos meses.

Su gráfico de $\pi$ ¡para los diferentes valores de es fascinante! También me sorprende que ( $2,\pi$ ) es el mínimo del gráfico. El documento del que hablas demuestra que esto es así, y por lo tanto da todas las razones matemáticas "por las que" esto es cierto.

En cuanto a tu pregunta sobre la filosofía, no lo sé, pero es una idea genial.

Answer 4

Pi es la relación entre la circunferencia y el diámetro. Las geometrías Lp parten de un punto, se convierten en un coso, acaban convirtiéndose en una circunferencia a p=2, se vuelven más cuadradas y acaban convirtiéndose en una bola con forma de pico. Esto sucede a medida que pasamos de la dimensión 0 a la dimensión n. Esta cosa en su n>2 es una ardilla.

La circunferencia se hace cada vez más grande mientras que el diámetro no cambia. Esto significa que el valor de la norma p o pi cambia a medida que cambia n.

Leo " es el valor mínimo de Pi" y una parte del documento al que hace referencia, " Goes Full Circle". El diagrama del documento de valores mínimos no refleja esta evolución. La forma no es un cuadrado en el infinito. El documento posterior afirmaba una función suave. Esto también es falso.

Hay muchas menciones en Quora sobre el problema del empaquetamiento de esferas. Las bolas con puntas se entrelazan, por lo que el empaquetamiento máximo es mucho más denso de lo que los investigadores esperaban.

Al utilizar estas funciones de distancia, ignoramos las raíces cuadradas más allá de la geometría del taxi. Esto causa problemas. Cambia la continuidad de la métrica. Las bolas de pinchos no son continuas.

Gracias por hacerme llegar su pregunta.