Es cualquier forma cerrada representación conocida por la suma de $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{\mu(n)\log n}{n^2}$?

Question

Es cualquier forma cerrada representación conocida por la suma de $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{\mu(n)\log n}{n^2}$, donde $\mu(n)$ es la Möbius $\mu$-función?

Answer 1

Puede utilizar una serie para el recíproco de Riemann $\zeta$-función: $\zeta(s)^{-1}=\sum\limits_{n=1}^{\infty}\mu(n)n^{s}$, entonces tomamos la derivada con respecto a los $s$ y dejar $s=2$. Esto le da a usted $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{\mu(n)\log n}{n^2}=\frac{\zeta'(2)}{\zeta(2)^2}$. Es bien sabido que $\zeta(2)=\frac{\pi^2}{6}$, y una forma cerrada de la derivada está dada en OEIS A073002:

$\zeta'(2)=\frac{\pi^2}{6}\left(\gamma+\log(2\pi)-12 \log\right)$,

donde $\gamma$ es el de Euler-Mascheroni constante, y $A$ es la Glaisher-Kinkelin constante. Tomando todo juntos, el resultado es:

$\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{\mu(n)\log n}{n^2}=\frac{6}{\pi^2}\left(\gamma+\log(2\pi)-12 \log\right)$.