Hombre borracho con un conjunto de teclas.

Question

He encontrado este problema en un concurso de años atrás, pero no soy muy bueno en la probabilidad, por lo que yo prefiero ver la manera de hacerlo:

Un hombre se emborracha, la mitad de los días de un mes. Para abrir su casa, él tiene un juego de llaves con $5$ claves que son todos muy similares, y sólo una tecla le permite entrar a su casa. Incluso cuando llega sobrio él no sabe que la clave es la correcta, así que trata de ellos uno por uno hasta que él elige la clave correcta. Cuando él está borracho, él también trata las teclas una por una, pero él no puede distinguir qué teclas ha probado antes, así que él podría repetir la misma clave.

Un día vimos que él abrió la puerta en su tercer intento.

¿Cuál es la probabilidad de que él estaba borracho ese día?

Answer 1

El punto clave aquí es lo siguiente: vamos a $T$ el número de intentos que le lleva a abrir la puerta. Deje $D$ ser el caso de que el hombre está borracho. Entonces $$ P(D\mediados de T=3)=\frac{P(T=3, D)}{P(T=3)}. $$ Ahora, el evento que lleva de tres intenta abrir la puerta se puede descomponer como $$ P(T=3)=P(T=3\mediados de la D)\cdot P(D)+P(T=3\mid \neg D)\cdot P(\neg D). $$ Por supuesto, $P(D)=P(\neg D)=\frac{1}{2}$. Así, sólo tenemos que calcular la probabilidad de requerir de tres intentos cuando se bebe y cuando sobrio.

Cuando está sobrio, lleva tres trata precisamente cuando él elige una clave errónea, seguido por una diferente tecla equivocada, seguido por la tecla derecha; la probabilidad de hacer esto es $$ P(T=3\mid \neg D)=\frac{4}{5}\cdot\frac{3}{4}\cdot\frac{1}{3}=\frac{1}{5}. $$

Cuando él está borracho, es $$ P(T=3\mediados de la D)=\frac{4}{5}\cdot\frac{4}{5}\cdot\frac{1}{5}=\frac{16}{125}. $$

Así que, todo sea dicho, $$ P(T=3)=\frac{16}{125}\cdot\frac{1}{2}+\frac{1}{5}\cdot\frac{1}{2}=\frac{41}{250}. $$ Finalmente, $$ P(T=3, D)=P(T=3\mediados de la D)\cdot P(D)=\frac{16}{125}\cdot\frac{1}{2}=\frac{16}{250} $$ (intencionalmente dejado de la unsimplified). Así, obtenemos $$ P(D\mediados de T=3)=\frac{\frac{16}{250}}{\frac{41}{250}}=\frac{16}{41}. $$

Answer 2

Primero vamos a calcular la probabilidad de que se gana en el tercer intento en cada uno de los dos casos:

Sobrio: La clave tiene que ser uno de los (ordenada) de cinco años, con igual probabilidad para cada uno, por lo $p_{sober}=p_s=\frac 15$.

Borracho: el Éxito en cualquier juicio de probabilidad $\frac 15$. Para ganar en el tercer medio que falla dos veces, a continuación, se realiza correctamente, por lo $p_{drunk}=p_d=\frac 45\times \frac 45 \times \frac 15 = \frac {16}{125}$

Desde antes de nuestra era $\frac 12$ la nueva estimación de la probabilidad es $$\frac {.5\times p_d}{.5p_d+.5p_s}=\frac {16}{41}=.\overline {39024}$$

Answer 3

He intentado centrarse en el número de veces que se trata de una clave y se produce un error. Así que si él se pone en el 3er intento, se echa de menos $2x$. La probabilidad de hacer esto, dado que él borracho, es $(4/5) * (4/5) = 16/25$. Por otro lado, la probabilidad de que le faltaban dos veces en una fila, que está sobrio es $(4/5) * (3/4) = 3/5$. La aplicación de Baye la regla, tengo

$$Pr(\text{drunk}\mid \text{missed twice}) = (16/25)/((16/25 + (3/4)(4/5)) = 0.51$$

Dado que extraña $3x$, me sale

$$Pr(\text{drunk}\mid \text{missed }3x) = ((4/5)^3)/((4/5)^3 + (2/3)(3/4)(4/5)) = 0.62$$

$$Pr(\text{drunk}\mid \text{missed }4x) = ((4/5)^4)/((4/5)^4 + (1/2)(2/3)(3/4)(4/5)) = 67.2$$

$$Pr(\text{drunk}\mid \text{missed } 5x) = ((4/5)^5)/((4/5)^5 + 0) = 1$$

El resultado tiene la propiedad deseable que la probabilidad comienza a $0.5$ y se hace mayor cuanto más observamos comienza a falta de la cerradura. Estoy pensando en el éxito en la $x$ intento no deben entrar en el cálculo. Puedo justificar esto porque, en los que tenemos la observación de que él finalmente se abre la puerta, por lo que no forma parte de nuestro probabilidad de cálculo. Lo que es realmente incierto es el número de veces que se tiene que tratar antes de que él la abre.