El cuadrado del elemento algebraico de orden impar genera el mismo campo

Question

Posible duplicado:
¿Igual que las extensiones de campo simples?

Dejemos que $\alpha$ sea algebraico sobre el campo $F$ y que el polinomio mínimo de $\alpha$ , denotado por $m_{\alpha}(x)$ , tienen la orden de impar. Entonces necesito demostrar que $F(\alpha^2)=F(\alpha)$ .

Esta es mi línea de pensamiento: Tenemos la extensión de los campos $F \subset F(\alpha^2) \subset F(\alpha)$ . La primera observación es que $m_{\alpha}(x)$ divide $m_{\alpha^2}(x^2)$ . La segunda observación es que, si $deg(m_{\alpha})=n_1$ y $deg(m_{\alpha^2})=n_2$ entonces $n_2 \le n_1 < 2n_2$ . La tercera observación es que $m_{\alpha^2}(x^2)$ contiene sólo monomios de orden par. Mi idea es suponer que $d>n$ y llegar a una contradicción (ya que si $d=n$ Entonces, hemos terminado). Sin embargo, me falta la relación entre todas estas observaciones anteriores y lo que debería ser esta contradicción. He intentado manipular la ecuación de la división $m_{\alpha^2}(x^2)=m_{\alpha}(x)q(x)$ para algún cociente $q(x)$ pero se siente desordenado. ¿Algún consejo?

Gracias.

Answer 1

Empiezas muy bien: Observe que $F\subseteq F(\alpha^2)\subseteq F(\alpha)$ .

Ahora, ¿qué es $[F(\alpha):F(\alpha^2)]$ ?

Una pista: ¿Puedes encontrar un polinomio con coeficientes en $F(\alpha^2)$ que se satisface con $\alpha$ ?

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Prueba alterna, de cabeza de toro (sólo empuja hacia adelante hasta conseguir lo que necesita; sin ninguna delicadeza).

Dejemos que $p(x)$ sea el polinomio irreducible mónico de $\alpha$ con coeficientes en $F$ . Escribe: $$p(x) = x^{2n+1} + a_{2n}x^{2n} + \cdots + a_1x + a_0.$$ Entonces $$\alpha^{2n+1} + a_{2n}\alpha^{2n} + \cdots+ a_1\alpha + a_0 = 0.$$ Mueve todas las potencias pares a un lado, y todas las potencias Impares al otro: $$\begin{align*} \alpha^{2n+1}+a_{2n-1}\alpha^{2n-1}+\cdots + a_1\alpha &= a_{2n}\alpha^{2n}+\cdots + a_2\alpha^2 + a_0\\ \alpha(\alpha^{2n}+ a_{2n-1}\alpha^{2n-2} + \cdots + a_1) &= a_{2n}\alpha^{2n}+\cdots + a_2\alpha^2 + a_0\\ &\vdots \end{align*}$$