Demostrar $0! = 1$ a partir de primeros principios

Question

Cómo puedo probar a partir de primeros principios que $0!$ es igual a $1$?

Answer 1

Necesitamos $0!$ se define como $1$, de modo que muchos de fórmulas matemáticas de trabajo. Por ejemplo, nos gustaría $$n! = n \times (n-1)!$$ para trabajar cuando $n=1,$ es decir, $1! = 1 \times 0!.$ Se requiere también que la fórmula para el número de maneras de elegir $k$ objetos de $n$ es válido por $k=n.$ es decir $${n \elegir k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$$ es válido cuando $k=n.$

Cosas que necesita para trabajar cuando ampliamos nuestra definición de factorial a través de la función gamma.

$$\Gamma(z) = \int\limits_0^\infty t^{z-1} e^{-t} \,\mathrm{d}t,\qquad \Re(z)>0.$$

El de arriba te da $\Gamma(n)=(n-1)!$ y por lo que requieren de $0!=1,$ ya $\Gamma(1)=1.$

Answer 2

No estoy seguro de que no hay nada que demostrar. Creo que se sigue directamente de la definición de factorial:

$$ n! := \prod_{k = 1}^n k$$

Así que si $n=0$ $ $ el lado derecho está el vacío del producto que es de $1$ por la convención.

Answer 3

Una de las formas más sencillas de hacerlo es observar que si usted tiene $$ 6!= 720 $$ a continuación, divide ambos lados por 6 para obtener $$ 5!=120 $$ a continuación, divide ambos lados por 5 para obtener $$ 4!=24 $$ luego dividir ambos lados por 4 para obtener $$ 3!=6 $$ a continuación, divide ambos lados por 3 para obtener $$ 2!=2 $$ a continuación, divide ambos lados por 2 para obtener $$ 1!=1 $$ luego dividir ambos lados por 1 a conseguir $$ \text{[llene el espacio en blanco aquí]} $$

Answer 4

$0! = 1$ es consistente con, y por razones relacionadas con, cómo definimos el vacío del producto.
Véase, por ejemplo, esta entrada en vacío del producto. Esto es simplemente el nombre de el fenómeno Michael Hardy se alude a:

Vacío del producto:

El vacío producto de los números es el caso límite de un producto, donde el número de factores es cero, esto es, el conjunto de los factores, está vacía. En una "frontera", el vacío producto de los números es igual a la multiplicación de la identidad, que es de $1$.

Algunos de los ejemplos más comunes son los siguientes:

• El cero$^{\text{th}}$ potencia de un número $de$: $a^0 = 1$,
• El factorial de $0$: $0! = 1$,
• El principal factor de presentación de la unidad, que no tiene factores primos.

Así como ${n^0 = 1}$ para $n$, y la "descomposición de los números primos" de 1 $$ = $1$, se define, como una cuestión de convención, $0! = 1$.

Answer 5

El vacío de producto es igual a 1. Tomar registros y obtener un vacío suma igual a cero, que es de alguna manera más intuitiva, pero este truco de tomar los registros para convertir un producto en una suma nunca parece conseguir una mención en la literatura. [Se supone tienen los productos de términos positivos]