¿Una prueba directa de que existe un primo entre $n$y $n^2+1$?

Question

Estoy tratando de probar que existe un primer entre el $n$ $n^2+1$ sin el uso de Bertrand postulado o teorema de los números Primos.

¿Tiene usted alguna idea?

Yuval Filmus la respuesta para este problema proporciona una muy útil la idea.

Pero desde $n^2+1\lt n!$$n\ge4$, no sé cómo usarlo para esta pregunta.

Answer 1

Intento 1 (error):

Desde $n^2+1$ es un número entero, existe alguna prime $p\le n^2+1$ tal que $p\mid n^2+1$.

Supongamos que por la vía de la contradicción que hemos $p<n$ todos los $p\mid n^2+1$. A continuación,$p\mid n^2$. Pero, a continuación,$p\not\mid n^2+1$, debido a $n^2+1=kp+1$ algunos $k\in\mathbb{N}$.

Así, para algunos $p\mid n^2+1$ debemos tener $n\le p\le n^2+1$.

¿Por qué esto no funciona? @Daniel Fischer señala que $n=7$ es un contraejemplo. Todos los números primos que dividen a $n^2+1=50=2\cdot 5^2$ son menores de $7$ y ninguno de ellos dividen $n^2$.