¿Cuál es la relación entre la transformación de Fourier y la serie de Fourier?

Question

¿Existe alguna relación entre la transformación de Fourier de una función y su serie de Fourier? Sólo conozco la fórmula para encontrar la transformación de Fourier y encontrar los coeficientes de Fourier para encontrar la serie de Fourier correspondiente.

Answer 1

Dado un grupo abeliano localmente compacto $G$ se puede definir el grupo de caracteres de $G$ como el grupo de homomorfismos continuos $G \to S^1$ . (En realidad debería aterrizar en $\mathbf C^\times$ pero para el propósito que nos ocupa, esto es suficiente).

El grupo de caracteres del círculo $S^1$ es isomorfo con $\mathbf Z$ (los personajes son $\chi_n : \theta \mapsto e^{2\pi i n\theta}$ ).

Por otro lado, el grupo de caracteres de $\mathbf R$ es isomorfo con $\mathbf R$ mismo. Los personajes son $\chi_t : s \mapsto e^{2\pi i st}$ .

Es un principio general que los caracteres de un grupo localmente compacto forman una "base" para el espacio de funciones "agradables" sobre el grupo. Así, las funciones periódicas (es decir, las funciones sobre el círculo) tienen una descomposición como sumas de $e^{2\pi i n\theta}$ (serie de Fourier), mientras que las funciones sobre $\mathbf R$ tienen una descomposición como integrales de Fourier (transformada inversa de Fourier de su transformada de Fourier).

Estoy barriendo bajo la alfombra cientos de años de análisis (no es que los conozca todos), pero esta es la idea general.

Answer 2

Se puede (al menos a nivel informal) pensar en las transformadas de Fourier como una especie de límite de las series de Fourier.

Si $f$ es una función sobre $\mathbb R$ podemos restringirlo al intervalo $[N,-N]$ , donde tiene una serie de Fourier, a saber

$$f(x) = \sum_{n = -\infty}^{\infty} a_n e^{\frac{\pi i n x}{N}} ,$$

donde $$a_n = \frac{1}{2N}\int_{-N}^N f(x) e^{\frac{-\pi i n x}{N}}dx = \frac{1}{2N}\int_{-N}^N f(x)e^{-ix y} dx,$$ donde $y = \pi n/N$ .

Esto es válido para $x \in [-N,N].$

Así que $$f(x) = \sum_{n = - \infty}^{\infty} e^{ixy} \cdot \int_{-N}^N f(x) e^{-ixy} dx \cdot \frac{\Delta y}{2\pi},$$ donde $y = \pi n/N$ y $\Delta y = \pi/N$ (de nuevo, válido para $x \in [-N,N]$ ).

Dejar $N \to \infty$ , definiendo $$\hat{f}(y) = \int_{-\infty}^{\infty} f(x)e^{-ixy} dy,$$ y pensando en la suma como una suma de Riemann, encontramos que $$f(x) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} \hat{f}(y)e^{ixy} dy,$$ ahora es válido para todos $x \in (-\infty,\infty).$

Esta es la representación de $f$ como la integral de su transformada de Fourier.

(Lo anterior es informal, ya que no he discutido cuidadosamente las cuestiones de convergencia. Sin embargo, es una intuición muy tradicional y conocida, y puede hacerse rigurosa en varios contextos; por ejemplo, recuerdo que Wiener demostró su teorema de Tauber pasando del contexto de las series de Fourier a la transformada de Fourier utilizando este tipo de argumento).

Answer 3

Me gusta pensar que tanto las series de Fourier como las transformadas de Fourier son funciones de descomposición frente a medidas espectrales en $\mathbb{S}^1$ y $\mathbb{R}$ respectivamente.

Una serie de Fourier toma una función $f$ en $\mathbb{S}^1$ y lo descompone como una suma de proyecciones sobre los eigenspaces. Escribiendo $e^{i\lambda x} = e_\lambda(x)$ y el $L^2$ producto interno como $(\cdot |\cdot )$ , $$ f(x) = \sum_{\pm\lambda\in2\pi\mathbb{Z}} \bigg( \int f(\xi)e^{-i\lambda\xi}d\xi \bigg)e_\lambda(x) = \sum_{\pm\lambda\in 2\pi\mathbb{Z}}(f|e_\lambda)e_\lambda. $$ Aquí, $\lambda$ abarca el espectro del operador de Laplace. Para cada $\lambda$ en el espectro, $f$ se proyecta en el eigespacio (abarcado por $e_{\pm\lambda}(x)$ ). La función original $f$ se recupera sumando todas las proyecciones.

La misma idea ilustra la transformada de Fourier. La fórmula de inversión indica $$ f(x) = \int_\mathbb{R} \hat{f}(\lambda) e^{i\langle x,\lambda\rangle}\ d\lambda = \int_\mathbb{R} \bigg( \int_\mathbb{R} f(y)e^{-i\langle \lambda,y\rangle}\ dy \bigg)e_\lambda(x)\ d\lambda\ ``=" \int_\mathbb{R} (f|e_\lambda) e_\lambda(x) d\lambda$$ Moralmente, la transformada de Fourier $\hat{f}$ evaluado en una sola frecuencia $\lambda$ es la proyección de $f$ en el $\lambda$ -del operador de Laplace en un espacio de funciones apropiado. La fórmula de inversión de Fourier indica cómo se recupera la función original "sumando" (integrando) sobre todas las proyecciones de $f$ en todos los eigespacios.

La teoría general aquí es la del medida espectral . Una medida espectral es útil (aparte de tener un nombre insoportablemente impresionante) porque proporciona un marco formal unificador para estudiar este tipo de descomposición asociada a los operadores en los espacios de Hilbert. Es una medida sobre $\mathbb{C}$ que toma valores no en el plano complejo extendido, sino en proyecciones sobre un espacio de Hilbert $H$ : $\mu$ toma un conjunto de Borel $\sigma\subset\mathbb{C}$ y lo mapea a una proyección ortogonal $\mu(\sigma):H\to H$ . En nuestros ejemplos, las proyecciones asignan una función a la integral de sus proyecciones sobre cada $\lambda$ eigenspace, para cada $\lambda\in \sigma$ .

Ahora vemos que esta perspectiva unifica tanto las series de Fourier como las transformadas de Fourier: ambas están dadas por medidas espectrales asociadas al operador de Laplace en los espacios $\mathbb{S}^1$ y $\mathbb{R}$ . El espectro del Laplaciano en $\mathbb{S}^1$ es discreta, por lo que la integral es una suma de proyecciones; el espectro del laplaciano en $\mathbb{R}$ es continua, por lo que la integral es una integral real de proyecciones.

Hay algunos análisis sutiles que estoy dejando fuera de esto - cuestiones de convergencia, productos internos, etc. Aprendí (estoy aprendiendo) sobre medidas espectrales de Reed & Simon, Métodos de la física matemática moderna (libro 1). Rudin en Análisis funcional (cap. 12, 13) llama a esto "descomposición espectral". No lo he comprobado, pero me sorprendería saber que el tema no se trata en la obra magna de Taylor Ecuaciones diferenciales parciales .

Answer 4

La serie y la transformación están relacionadas. La serie se produce cuando transformamos una señal periódica.

De manera informal, la transformada de una función periódica se parece a un peine y los picos de ese peine corresponden a los términos de la serie.

Las transformadas de las funciones no periódicas no son así. Contienen un continuo de frecuencias, no sólo múltiplos discretos.