Digamos que $f(x,y)$ es una función continua. $x$ $y$ puede ser cualquier número real. ¿Puede esta función tiene un valor único para cualquier dos pares diferentes de variables? ¿En otras palabras puede $f(a,b) \neq f(c,d)$ para cualquier $a$, $b$, $c$ y $d$ tal que $a \neq c$ o $b \neq d$? No creo que allí no se puede por lo menos si el rango de $f$ está dentro de los números verdaderos. Alguien podría por favor ofrecen una prueba más formal de esto o al menos empezarme en la dirección correcta.
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Asumir $f : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ es continua e inyectiva. Entonces para cada fijo $y$, la función $x \mapsto f(x,y)$ es monotónica. Su imagen es un intervalo y en particular contiene un número racional. Ninguno de estos puntos puede ser reutilizado para algunos otros $y$. Así $y$ no haya sido de un conjunto de innumerables, puesto que los racionales son contables. Pero $\mathbb{R}$ es incontable...
Sunrising
Puntos
656
No, porque la imagen continua de un conjunto conectado está conectado. Si $f: \mathbb{R}^{2} \to \mathbb{R}$ es un continuo bijection, entonces podemos considerar $f( \mathbb{R}^{2} \setminus \{ 0, 0 \} ) = \mathbb{R} \setminus \{ f(0, 0) \}$. Deje $c = f(0, 0)$. Desde $\mathbb{R}^{2} \setminus \{ (0, 0) \}$ está conectado, por lo que debe ser $\mathbb{R} \setminus \{ f(0, 0) \} = ( - \infty, c) \cup (c, + \infty)$, lo que, obviamente no. Por lo tanto, $f$ no es continua, o no es un bijection.
EDIT: Comentarista señaló que el OP supone que sólo $f$ fue inyectiva. Un método similar se mantiene. De nuevo, $f (\mathbb{R}^{2})$ está conectado a un subconjunto de a $\mathbb{R}$, así que es un intervalo, ya que conectan todos los subconjuntos de a $\mathbb{R}$ son los intervalos (a pesar de sus extremos puede ser infinito). Así que supongamos que el intervalo de $(a, b) \subseteq f(\mathbb{R}^{2})$. Deje $a < c < b$, y deje $\mathbf{x} = (x_{1}, x_{2})$ ser tal que $f(\mathbf{x}) = c$. A continuación, de nuevo, $\mathbb{R}^{2} \setminus \{ \mathbf{x} \}$ está conectado, por lo $f( \mathbb{R}^{2} \setminus \{ \mathbf{x} \} )$ está conectado. Pero podemos considerar que $$f( \mathbb{R}^{2} \setminus \{ \mathbf{x} \} ) = ( (- \infty, c ) \cap f(\mathbb{R}^{2} \setminus \{ \mathbf{x} \})) \cup ( (c, + \infty) \cap f(\mathbb{R}^{2} \setminus \{ \mathbf{x} \})) ,$$ y por lo tanto no está conectado. Por lo tanto, $f$ no es inyectiva, o no continua.
sewo
Puntos
58
Si $f$ toma valores en $\mathbb R$,, $f$ no puede ser inyectiva.
Para ver esto, considere la función $$ g(t) = f(\cos t, \sin t) $$ que es continua porque se trata de una composición de funciones continuas. Si $f(1,0)=f(-1,0)$, entonces sabemos $f$ no es inyectiva. De lo contrario, ya que $g(0)=g(2\pi)$, por el teorema del valor intermedio el valor de $\frac{g(0)+g(\pi)}{2}$ debe ser alcanzado por algunos $t_0\in(0,\pi)$ así como para algunos de los $t_1\in(\pi,2\pi)$. Pero $(\cos t_0,\sin t_0)$ es un punto diferente de $(\cos t_1, \sin t_1)$. así que en este caso $f$ no es inyectiva.
Por otro lado, no son continuas inyecciones $\mathbb Q^2\to\mathbb Q$. Es decir, $(x,y)\mapsto x+\sqrt2 y$ inyecta $\mathbb Q^2$ continuamente en $\mathbb Q+\sqrt2 \mathbb Q$, y este conjunto es una contables densa orden lineal sin primero y el último elemento y, por tanto, de la orden-isomorfo -- y por lo tanto homeomórficos -- a $\mathbb Q$.
failexam
Puntos
90
Usted está pidiendo una continua inyectiva función de $f: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}$. Considere la posibilidad de $C=[-1,1] \times [1,1]$. $f|_C$ todavía es inyectiva y continua. Desde que está definida en un conjunto compacto, es un homeomorphism con su imagen (tenga en cuenta que $\mathbb{R}$ es Hausdorff). Pero $C$ también está conectado, por lo tanto la imagen debe ser de un intervalo cerrado $[a,b]$. Esto nos diría que existe una homeomorphism entre el$[-1,1]$$[-1,1] \times [1,1]$, lo cual es falso (por ejemplo, se puede sacar un punto de $[-1,1]$ y este no será conectadas, mientras que la toma fuera un punto de $C$ deja un conjunto conectado).
GmonC
Puntos
114
Tomar cualquier par de puntos distintos $p,q$ $\Bbb R^2$ y el enlace por dos disjuntas (excepto en los puntos finales) arcos. Por ejemplo, tener $p=(1,0)$$q=(-1,0)$, vinculado por las mitades superior e inferior del círculo unitario. Ahora por la hipótesis de $f(p)\neq f(q)$, y la restricción de $f$ a de arco es una función continua (de los parámetros para el arco). Por el teorema del valor intermedio, cada valor en el intervalo entre el $f(p)$ $f(q)$ es tomado por $f$ en cualquiera de los arcos, pero esto contradice el supuesto de inyectividad.
