¿Cómo puedo probar $\pi_1(M)=\pi_1(M-\{q\})$?

Question

Si $M$ está conectado a un topológica del colector con la dimensión de $n\ge 3$, vamos a $q\in M$. ¿Cómo puedo demostrar que $\pi_1(M)=\pi_1(M-\{q\})$?

Como Neal dijo que, puesto que M es localmente conectado, M es la ruta de acceso conectado, entonces podemos usar la Seifert-Van Kampen teorema, tengo problemas para encontrar el camino abierto conjuntos conectados $U$ $V$ de manera tal que podemos utilizar Seifert-Van Kampen teorema. Estoy pensando en $U=W-\{p\}$ donde $W$ es el barrio de $p$ que es homeomórficos a $\mathbb R^n$ estoy en lo correcto? y sobre el otro conjunto abierto $V$?

Necesito ayuda aquí

Gracias

Answer 1

Siguiendo las sugerencias en los comentarios en la pregunta, elija que abren los siguientes conjuntos:

$U=M-\{q\}$

$V=B_\epsilon(q)$, donde $B_\epsilon(q)$ es una bola abierta centrada en $q$.

Tenga en cuenta estos sistemas abiertos son conectados y el % de intersección $U\cap V=B_\epsilon(q)-\{q\}$trayectoria-está conectado.

Desde $n\ge 3$ $B_\epsilon(q)-\{q\}$ es simplemente conexa y nota $\pi_1(V)=1$ (Grupo trivial).

Así usando el teorema de Seifert-Van Kampen tenemos:

$\pi_1(M)=\pi_1(M-\{q\})$