He tenido problemas con los conjuntos densos ya que mi profesor no desarrolló realmente una intuición para los conjuntos densos en mi clase. Así que, ¿alguno de ustedes puede ayudarme con eso? Y por favor, ¿pueden decirme (el caso general) cómo debo hacer para demostrar que un conjunto es denso en R?
Un conjunto $D$ es denso en $\Bbb R$ si todo intervalo abierto no vacío de $\Bbb R$ contiene un punto de $D$ en símbolos, $D$ es denso en $\Bbb R$ si y sólo si $D\cap(a,b)\ne\varnothing$ siempre que $a,b\in\Bbb R$ y $a<b$ . El conjunto $\Bbb Q$ de los racionales es denso en $\Bbb R$ : si $a$ y $b$ son números reales, y $a<b$ siempre hay un número racional entre $a$ y $b$ Así que $\Bbb Q\cap(a,b)\ne\varnothing$ . También hay siempre un número irracional entre $a$ y $b$ Así que $\Bbb R\setminus\Bbb Q$ el conjunto de los irracionales, también es denso en $\Bbb R$ . Y por supuesto $\Bbb R$ mismo es denso en $\Bbb R$ .
Otro ejemplo de subconjunto denso de $\Bbb R$ es $\Bbb R\setminus\Bbb Z$ el conjunto de números reales que no son enteros: se puede demostrar fácilmente que si $a<b$ el intervalo $(a,b)$ contiene un número no entero. De manera similar, $\Bbb R\setminus F$ es denso para cualquier $F\subseteq\Bbb R$ .
He aquí un par de ejemplos menos evidentes. Dejemos que $$D=\left\{\frac{2m+1}{2^n}:n\in\Bbb N\text{ and }m\in\Bbb Z\right\}\;;$$ los elementos de $D$ son los racionales diádicos los números racionales cuyos denominadores en los términos más bajos son potencias de $2$ . Este conjunto $D$ es denso en $\Bbb R$ ; podría tratar de demostrar que $D\cap(a,b)\ne\varnothing$ siempre que $a<b$ . SUGERENCIA: Para un $n$ los racionales diádicos con denominador $2^n$ son $\frac1{2^n}$ aparte. Por último, deja que $C$ sea el conjunto de Cantor de mediano tamaño Entonces $C$ no contiene ningún intervalo abierto no vacío, por lo que $\Bbb R\setminus C$ intersecta todo intervalo abierto no vacío y, por tanto, es denso en $\Bbb R$ .
El ejemplo prototípico de un conjunto denso es $\mathbb Q$ en $\mathbb R$ . Se me ocurren dos formas de demostrar que un conjunto $X$ es denso en $\mathbb R$ :
EDITAR: Como sugirió Henry,
Nótese que 1 se aplica a la densidad en cualquier espacio topológico, 2 se aplica a cualquier espacio métrico, mientras que 3 depende del orden de $\mathbb R$ es, por tanto, mucho menos general.
¿Qué tal si decimos que para dos elementos distintos de $\mathbb R$ hay un elemento de $X$ entre ellos
Puedo preguntar por 2, qué tengo que mostrar (caso general, no $\mathbb{R}$ ? Es difícil encontrar una secuencia (digamos en Y) que converja a un elemento en $X$ .
Un subconjunto $A$ de ${\mathbb R}$ es denso en ${\mathbb R}$ si dondequiera que se mire en ${\mathbb R}$ , encontrará un elemento de $A$ muy cerca. Formalmente, $A$ es denso significa que cada intervalo abierto $(a,b)$ de ${\mathbb R}$ contiene un elemento de $A$ .
Cómo demostrar que un conjunto dado $A$ es denso en ${\mathbb R}$ depende en gran medida de lo que $A$ es, pero una estrategia normal sería comenzar con un intervalo abierto $(a,b)$ de ${\mathbb R}$ y de alguna manera construir explícitamente un elemento de $A$ que está ahí.
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Un conjunto $X \subseteq \mathbb{R}$ es denso si es lo suficientemente grande como para que cada $x \in \mathbb{R}$ se puede alcanzar tomando el límite de una secuencia que se mantiene completamente dentro de $X$ . Por ejemplo, dado que los números racionales son lo suficientemente grandes como para que cada número real sea el límite de una secuencia de números racionales, entonces $\mathbb{Q}$ es denso en $\mathbb{R}$ . Por otro lado, los enteros no son densos en los reales, porque no hay suficientes para permitirnos obtener cada real como límite de una secuencia de enteros.