¿Se puede hacer cualquier tipo de conclusión acerca de la cointegración de $B, A$ da la estadística de la prueba de cointegración de $A, B$?

Question

Se puede demostrar que, en general, la cointegración estadístico de prueba de $A, B \ne B,A$. Yo creo que esto es cierto para todas las pruebas de cointegración, por lo que la prueba utilizada es, tal vez, irrelevante.

Sin embargo, he encontrado que a las dos de la estadística de prueba son generalmente "cerrar": las dos de la estadística de prueba será en el mismo nivel de confianza.

Tenga en cuenta que en mi trabajo el método más común para la prueba de cointegración es la prueba de una unidad de la raíz en la combinación lineal de las dos series (AKA residual de la serie). Generalmente lo hago mediante el alimentador automático de prueba y comparar el resultado de la prueba estadística a los niveles de confianza necesario para rechazar la hipótesis nula.

Mis preguntas:

1. Hay cosas formales que se puede decir acerca de la comparación de $coint(A,B)$$coint(B,A)$?
2. Hay una de carácter técnico razón para preferir una variable orientación sobre el otro?
3. Son las respuestas a 1 o 2 en particular para la prueba de cointegración de usa? Si es así, ¿hay algo especialmente relevante en el caso de cointegración de la metodología de la prueba he descrito?

Gracias.

EDITAR:

He aquí un ejemplo, como se solicitó. Puedo usar Python para la mayoría de mi trabajo estadístico.

El ADF estadístico de prueba para la primera combinación lineal (AKA residual de la serie) es -35.9199966497 y -35.7190914946 para la segunda combinación lineal.

Obviamente, esto es más bien un ejemplo extremo, pero hay muchos otros.

El orden de los puntos en la gráfica:

1. Residual de la serie 1
2. Diagrama de dispersión con la línea de mejor ajuste, (x,y) de la orientación.
3. Residual de la serie 2
4. Diagrama de dispersión con la línea de mejor ajuste, (y,x) de la orientación.
5. Gráfico de las dos primas curvas.

Esperemos que aclara las cosas.

Answer 1

Para las dos series de tiempo $X_t$ $Y_t$ a ser cointegrated se cumplen dos condiciones:

1. $X_t$ $Y_t$ debe $I(1)$ procesos, es decir, $\Delta X_t$ $\Delta Y_t$ debe ser estacionaria procesos (en un sentido débil, es decir, la covarianza estacionaria).

2. Existe un conjunto de coeficientes de $\alpha,\beta\in \mathbb{R}$ de manera tal que la serie de tiempo de $Z_t=\alpha X_t+\beta Y_t$ es un proceso estacionario. El vector $(\alpha,\beta)$ es llamado vector de cointegración.

Desde la estacionariedad es invariante a cambio de escala y sigue inmediatamente que los coeficientes de $\alpha$ $\beta$ no está definida de forma única, es decir, que son únicas de hasta multiplicativo constante.

De cointegración de las pruebas vienen en dos variedades:

1. Las pruebas sobre los residuos de la regresión de la $Y_t$$X_t$.

2. Pruebas en el rango de la matriz en un vector de corrección de errores de la representación de $(Y_t,X_t)$.

Ambas variedades dependen de ciertos resultados teóricos, a saber:

1. OLS de $Y_t$ $X_t$ da una estimación consistente de vector de cointegración

2. Granger teorema de representación.

El OP pregunta es acerca de la primera serie de pruebas. En estas pruebas tenemos una opción: estimación de la regresión $Y_t=a_1+b_1 X_t+u_t$ o $X_t=a_2+b_2 Y_t+v_t$$Y_t$. Naturalmente, estas dos regresiones se dan dos diferentes vectores de cointegración: $(-\hat b_1, 1) $$(1, -\hat b_2)$. Pero, debido a lo anteriormente mencionado resultado teórico de la probabilidad de los límites de $-\hat b_1$ $-1/\hat b_2$ debe ser el mismo, ya que el vector de cointegración es único hasta una constante.

Debido a las propiedades algebraicas de la OPERACIÓN el residuo de la serie de $\hat u_t$ $\hat v_t$ no son idénticos, aunque desde la perspectiva teórica que ambos debe ser igual a $\frac{1}{\beta}Z_t$ $\frac{1}{\alpha}Z_t$ respectivamente, es decir, que debe ser idéntico multiplicativo constante. Si la serie $X_t$ $Y_t$ son cointegrated, a continuación, $Z_t$ es una serie estacionaria, por lo que desde $\hat u_t$ $\hat v_t$ aproximado $Z_t$, podemos comprobar si son estacionarias.

Que es como la primera variedad de cointegración se realizan las pruebas. Naturalmente, puesto que el $\hat u_t$ $\hat v_t$ son diferentes de cualquier exámenes en ellos se diferencian demasiado. Pero desde el punto de vista teórico, cualquier diferencia es simplemente una muestra finita de sesgo, que debe desaparecer asintóticamente.

Si la diferencia entre las pruebas de estacionariedad en la serie de $\hat u_t$ $\hat v_t$ es estadísticamente significativa, esto es una indicación de que la serie no están cointegrated, o en los supuestos de estacionariedad de las pruebas no se cumplen.

Si tomamos ADF prueba como una prueba de estacionariedad de los residuos creo que sería posible derivar la distribución asintótica de la diferencia entre el alimentador automático de estadísticas en $\hat u_t$$\hat v_t$. Si tendría ningún valor práctico, no sé.

Entonces, para resumir las respuestas a las tres preguntas son las siguientes:

1. Ver arriba.

2. No.

3. La distribución asintótica de la diferencia de las pruebas dependerá de la prueba. Su metodología está bien. Si las series de tiempo son cointegrated, ambas estadísticas debe indicarlo. En caso de no cointegración, tanto de las estadísticas de rechazará la estacionariedad, o uno de ellos. En ambos casos se debe rechazar la hipótesis nula de cointegración. Como en las pruebas para la unidad de la raíz debe proteger en contra de las tendencias en el tiempo, los puntos de cambio y todas las otras cosas que hacen que la raíz de la unidad de pruebas muy difíciles procedimiento.

Answer 2

Así que la respuesta más popular de las estadísticas es aparentemente correcto para esta pregunta: "depende".

Un buen supongo que se puede hacer sobre la similitud de cointegración de la estadística de prueba de la única orden de las variables de entrada, dado que la serie de tiempo de los vectores tienen baja y similar desviaciones.

Esta implícito en el cálculo de la cointegración estadístico de prueba: cuando las desviaciones de la hora de entrada de la serie de vectores son bajos y similares, los coeficientes de cointegración será similar (es decir, aproximadamente, múltiplos escalares de cada uno de los otros), lo que resulta en el residuo de la serie de ser, aproximadamente, múltiplos escalares de cada uno de los otros. Similar residual de la serie implica similares de cointegración de la estadística de prueba. Sin embargo, cuando las desviaciones son grandes o diferentes, no hay ninguna garantía implícita de que el valor residual de la serie será aproximadamente de múltiplos escalares de cada uno de los otros, lo que a su vez hace que la prueba de cointegración de estadísticas de la variable.

Formalmente:

Considere el modelo de regresión simple, se utiliza para encontrar el coeficiente de cointegración para bivariante de los casos.

La regresión de x sobre y: $$ \hat{\beta}_{xy} = {Cov[x,y] \over \sigma_x^2 } $$

La regresión de y sobre x: $$ \hat{\beta}_{yx} = {Cov[y,x] \over \sigma_y^2 } $$

Claramente $Cov[x,y] = Cov[y,x]$.

Pero, en general, $ \sigma^2_x \neq \sigma^2_y $.

Por lo tanto, $ \hat{\beta}_{xy} $ no es un escalar varios de $ \hat{\beta}_{yx} $.

Así que las combinaciones lineales (AKA residual de la serie) que se utilizan para la prueba de una unidad de la raíz para determinar la probabilidad de cointegración no son múltiplos escalares de uno a otro: $$ x_t - \gamma^1 y_t = \epsilon_t^1 $$ $$ y_t - \gamma^2 x_t = \epsilon_t^2 $$

Tenga en cuenta que, por lo tanto, $ \gamma = \hat{\beta} $, así, en general, $ \gamma^1 \neq a*\gamma^2 $ para algunos escalares $a$.

Esto demuestra dos hechos acerca de cointegración:

1. La variable orden en las pruebas de cointegración es importante, porque de la varianza del tiempo de cada serie de vectores. Esto afecta a la relación entre los coeficientes de cointegración de las diversas orientaciones variables debido a cómo la cointegración coeficiente es calculado.
2. El residual de la serie puede o no puede ser "similar" a la una de la otra: la similitud depende de las varianzas de los tiempos individuales de la serie de vectores.

Estos hechos implican que el residuo de la serie formada por única variable órdenes no sólo son diferentes, pero probablemente no son múltiplos escalares de uno a otro.

Por lo que el pedido de elegir? Depende de la aplicación.

¿Por qué algunos residual, como la serie generada a partir de la misma serie de datos, pero diferentes ordenamientos parecen similares, mientras que otros parecen tan diferentes? Es a causa de la varianza del tiempo de cada serie de vectores. Cuando la serie de tiempo de los vectores tienen similar de la varianza (como es ciertamente posible, al comparar similares datos de series de tiempo), el residuo de la serie puede parecer $-1 * \alpha$ múltiplos uno del otro, con $\alpha$ ser un poco de un valor escalar. Este es el caso cuando la varianza de la serie de tiempo de los vectores son bajos y similares, lo que resulta en similares términos de error en las combinaciones lineales.

Así que, finalmente, si la serie de tiempo de los vectores que están siendo sometidos a pruebas de cointegración de tener baja y similar desviaciones, entonces uno puede correctamente suponga que la cointegración estadístico de prueba será de un similar nivel de confianza. En general, es probablemente la mejor manera de probar las dos orientaciones, o al menos considerar las desviaciones de la serie de tiempo de los vectores, a menos que predomina la razón a favor de una orientación.