Echemos un vistazo a las iteraciones se obtiene de cada uno.
Con $f(x) = x - e^{-x}$, se obtiene
$$F(x) = x - \frac{f(x)}{f'(x)} = x - \frac{x-e^{-x}}{1+e^{-x}} = \frac{x + xe^{-x} - x + e^{-x}}{1+e^{-x}} = \frac{x+1}{e^x+1}.$$
Esa es una buena función, definida en todos los de $\mathbb{R}$, nos acerca a la solución real rápido cuando se empieza en un valor no negativo $x_0$, pero no es tan bueno para el negativo $x$, luego se acerca al punto fijo de a poco.
Con $g(x) = xe^x - 1$, se obtiene
$$G(x) = x - \frac{g(x)}{g'(x)} = x - \frac{xe^x-1}{(x+1)e^x} = \frac{x^2e^x+1}{(x+1)e^x} = \frac{x^2+e^{-x}}{x+1}.$$
Que función tiene un polo en $-1$, e $G(x) < -1$$x < -1$, de modo que no alcance el punto fijo a partir de ahí. Para grandes positivo $x$, no se enfoque en el punto fijo rápida (básicamente, se $x \mapsto \frac{x}{x+1}\cdot x$ no).
Así que mirando el comportamiento global, su elección se comporta mucho mejor.
Ahora, para el local comportamiento cerca del punto fijo, la iteración de Newton aproximadamente se comporta como
$$\alpha + \delta \mapsto \alpha + \frac{f''(\alpha)}{2f'(\alpha)}\delta^2$$
al $f'$ no se desvanecen en el cero de $f$, como es el caso aquí, así que vamos a ver en el correspondiente cociente de los dos candidatos.
$$\begin{align}
\frac{g''(\alpha)}{2g'(\alpha)} &= \frac{(\alpha+2)e^\alpha}{2(\alpha+1)e^\alpha} = \frac{\alpha + 2}{2(\alpha+1)} = \frac12 + \frac{1}{2(\alpha+1)}\\
\frac{f''(\alpha)}{2f'(\alpha)} &= \frac{-e^{-\alpha}}{2(1+e^{-\alpha})} = \frac{-\alpha}{2(1+\alpha)} = \frac{1}{2(\alpha+1)} - \frac12
\end{align}$$
el uso de $e^{-\alpha} = \alpha$ para el último.
Por lo $G$ enfoques en el punto fijo desde arriba, mientras que $F$ enfoques de abajo ($f''(\alpha) < 0 < f'(\alpha)$), y el factor de la plaza, tiene menor valor absoluto para $F$, lo que significa que la convergencia de $F$ es más rápido cerca del punto fijo $\alpha$ (pero eso no importa mucho en contra de la convergencia cuadrática, sin embargo).
Así que, en conjunto, la suya fue la mejor opción a nivel mundial (converge a la solución de todos los puntos de partida), y local (converge más rápido cerca del punto fijo).
