Teorema fundamental del cálculo en el caso multivariante

Question

Desde la FTC tenemos continuamente diferenciable $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $$ f (a) - f = \int_b^a \frac{d}{dx} f (x) dx $$

Estoy tratando de escribir la diferencia entre una función vectorial en términos similares, es decir, determinado $g : \mathbb{R}^d \to \mathbb{R}^d$, haber conocido a Jacobian $J_f(x)$, ¿qué podemos decir acerca de $$ g(x_1) - g(x_2) =? $$

Answer 1

Me refiero al cálculo en variedadesde Spivak. La real generalización del teorema fundmental de cálculo es el general Teorema de Stokes. Spivak hace un buen trabajo de montaje de la maquinaria para entender este resultado profundo e interesante.

Answer 2

$g(x_1) - g(x_2) = \int_0^1 Dg(x_2 + t (x_1-x_2)) (x_1-x_2) dt$.