El producto de dos espacios espectrales

Question

Aviso: las siguientes afirmaciones sobre las topologías de producto son todas de topología de producto cartesiano, estamos en la categoría de topología no en la de esquemas.

En esta página de espacio sobrio , decía que cualquier producto de espacios sobrios es sobrio. ¿Qué quiere decir con "cualquiera"? ¿Cualquier índice o cualquier producto finito?

Dato 1 . ¿Podría alguien dar una prueba sobre este hecho de que el producto $X\times Y$ de dos espacios sobrios cualesquiera $X,Y$ ¿está sobrio?

Estoy considerando la topología del producto de dos espacios espectrales. Sea $X=\operatorname{Spec} A$ , $Y=\operatorname{Spec} B$ donde $A,B$ anillos conmutativos. Entonces me pregunto para saber

¿Existe una elección canónica de un anillo $C$ tal que $\operatorname{Spec} C$ es canónicamente isomorfa a la topología cartesiana de $X\times Y$ ?

Las topologías de $X,Y$ son cuasicompactos, y tienen bases formadas por abiertos cuasicompactos y la intersección de dos abiertos cuasicompactos cualesquiera es un abierto cuasicompacto. Estas propiedades se mantienen en $X\times Y$ (si estoy en lo cierto). Así que por Dato 1 la topología del producto de $X\times Y$ es un espacio espectral por lo que se puede realizar como un espectro de un anillo conmutativo (véase el mismo artículo de la wiki).

Además, si consideramos la topología del producto $X\times_Z Y$ (la topología inducida de la topología del producto $X\times Y$ ), donde $X,Y,Z$ son esquemas afines los mapas $X\to Z$ , $Y\to Z$ son inducidos por los mapas anulares, lo que ocurrirá en este caso, es $X\times_Z Y$ un espacio espectral, etc.?

Gracias.

Answer 1

Prueba del hecho 1 (para cualquier producto).

Dejemos que $\{ X_i \}_{i\in I}$ sea una familia de espacios sobrios no vacíos. Sea $F$ sea un subconjunto irreducible cerrado de $X:=\prod_i X_i$ . Al sustituir $X_i$ con el cierre de la proyección de $F$ en $X_i$ podemos suponer $F\to X_i$ tiene una imagen densa para todos $i$ .

Afirmo que $F=X$ . Si $\eta_i$ es el punto genérico de $X_i$ entonces está claro que $(\eta_i)_i$ es el punto genérico de $X$ . Así que probemos la afirmación. Supongamos que el subconjunto abierto $X\setminus F$ es no vacía. Entonces contiene un producto $$X\setminus F \supseteq U_{i_1}\times \cdots \times U_{i_n} \times \prod_{i\ne i_1,..., i_n} X_i$$ con subconjuntos abiertos no vacíos $U_{i_j}\subseteq X_{i_j}$ . Así que $F$ está cubierto por un número finito de subconjuntos cerrados de $X$ : $$ F\subseteq \cup_{1\le j\le n} Z_{i_j}\times \prod_{i\ne i_j} X_i$$ donde $Z_{i_j}=X_{i_j}\setminus U_{i_j}$ . Como $F$ es irreducible, está contenido en uno de ellos, digamos $$ F\subseteq Z_{i_1}\times \prod_{i\ne i_1} X_i.$$ Pero entonces la proyección de $F$ a $X_{i_1}$ no es denso. Contradicción.