Ejemplo canónico de un cosheaf

Question

Las poleas pueden, al igual que todas las construcciones matemáticas y abstracciones, ser contrario a la intuición bestias pero, como todo este tipo de construcciones, un par de ejemplos pueden permitir visualizar ellos simplemente como una generalización de un objeto natural (es decir. los conjuntos de funciones locales en un espacio topológico).

Recientemente me he vuelto bastante interesado en cosheaves- una especie de natural iteración de la gavilla concepto a aplicar la gavilla functor una vez, y es contravariante, en dos ocasiones (siendo terriblemente cuidadoso acerca de cubiertas que se conservan de una manera sensible) y se obtiene una covariante de la construcción.

Mi problema es que esto es muy difícil de anclaje para nada realmente naturales como "las poleas por las poleas' parece bastante difícil de visualizar sin atar queridos cerebro en los nudos. Así que mi pregunta, en los términos más amplios es '¿qué cosheaves parece?' (son, por ejemplo, acaba de $\mathcal{F}^{op}$ a algunos gavilla $\mathcal{F}$ por analogía con otros "co-construcciones'), pero de manera más realista (suponiendo que estoy haciendo suposiciones) es "uno Puede encontrar un ejemplo canónico de un cosheaf que es 'visualisable" en algún sentido?"

Answer 1

Así que usted está probablemente requiera más general de ordenación de cosheaf -- yo realmente no sé lo que quieres decir por "ejecución de la gavilla functor dos veces" -, pero déjame que tal vez proporcionar una simple descripción de cosheaves que puede responder a su pregunta.

Una definición de un cosheaf es simplemente un functor

$F:\mathrm{Open}(X)\to\mathcal{C}$

que envía colimits (los sindicatos) a colimits. Por formalidad, podemos decir que esta es una gavilla valorada en el frente de la categoría

$F:\mathrm{Open}(X)^{op}\to\mathcal{C}^{op}.$

Hay un par de "canónica" ejemplos de cosheaves. Uno es el cosheaf de forma compacta compatible real de las funciones con valores en un espacio:

$U\rightsquigarrow \{f:U\to\mathbb{R}|\mathrm{supp}(f) \, \mathrm{cpt}\}$

Donde la función de extensión es extender por cero y particiones de la unidad de la fuerza de la cosheaf axioma de mantener.

De manera más abstracta, utilizando el colimit preservación de la definición, cualquier mapa continuo de espacios:

$f:X\to Y$

podemos construir un cosheaf de espacios en $Y$, asignando a cada conjunto abierto $U\subset Y$

$U\rightsquigarrow f^{-1}(U) \qquad U\cup V \rightsquigarrow f^{-1}(U)\cup f^{-1}(V).$

Otra, muy estrechamente relacionadas con el ejemplo canónico de un cosheaf, es llevar a $\pi_0(f^{-1}(U))$, y tan largo como $Y$ está conectado localmente, este será un cosheaf. Véase Jon Woolf papel de La Categoría Fundamental de un Estratificado Espacio y el apéndice B de allí.

Finalmente, debido a una observación de Bob MacPherson, si pensamos en una célula compleja $X$ como una categoría con los objetos de las células de la $\sigma\in X$ con morfismos dada por la relación cara a $\sigma\subseteq \bar{\tau}$, edificable gavilla es equivalente a un functor $F:X\to\mathrm{Vect}$ y un edificable cosheaf $F:X^{op}\to\mathrm{Vect}$. Estos aparatos son de buena fe poleas y cosheaves en el Alexandrov la topología en la asociada a cara relación poset, es decir, abrir los conjuntos de $U\subset X$ tal que $x\in U$ $x\leq y$ implica $y\in U$.

Por último, debo decir que algunos de mi trabajo de tesis se aplica cosheaves a Morse teoría, la persistencia de homología y redes de sensores, la cual deberá proporcionar algunos más intuitiva ejemplos.