Encontrar una solución para $f\left(\frac{1}{x}\right)+f(x+1)=x$

Question

Título lo dice todo. ¿Si $f$ es una función analítica en la línea real y $f\left(\dfrac{1}{x}\right)+f(x+1)=x$, lo que, si alguna, es una posible solución para $f(x)$?

Además, ¿qué soluciones $f\left(\dfrac{1}{x}\right)-f(x+1)=x$?

Answer 1

No una respuesta, pero tal vez algo a tener en cuenta para su segundo funcional de la ecuación,

Deje $\phi$ el valor del cociente de oro, así que tenemos $\frac{1}{\phi}+1=\phi$

Luego por la segunda funcional de la ecuación, si fijamos $x=\frac{1}{\phi}$ tenemos:

$$f(\phi)-f(\frac{1}{\phi}+1)=\frac{1}{\phi}$$ $$f(\phi)-f(\phi)=\frac{1}{\phi}$$ $$0=\frac{1}{\phi}$$

Lo que obviamente no es cierto lo $f(x)$ no está correctamente definido en $x=\phi$

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Además de cualquiera de las $f(x)$ no es analítica en $x=0$ o debemos tener:

$$f(x)\sim -x$$

Porque en virtud de la sustitución de $x\rightarrow x-1$ tenemos:

$$f(\frac{1}{x-1})-f(x)=x-1$$ $$-f(x)=x-1-f(\frac{1}{x-1})$$ $$f(x)=-x+1+f(\frac{1}{x-1})$$ $$f(x)=-x+O(1)$$

Donde $\lim_{x\to\infty}1+f(\frac{1}{x-1})=1+f(0)=O(1)$ porque por supuesto de $f$ es analítica en $0$ y, por tanto, continua en $0$, por lo que somos capaces de intercambio de los límites.

Answer 2

Un par de sugerencias que podrían ayudar...

1. $1/x = x+1$ al $x = \frac{\pm\sqrt{5}-1}2$
2. La diferenciación se obtiene: $-\frac{f'(1/x)}{x^2}+f'(1+x)=1$
3. La diferenciación de nuevo, se obtiene: $f''(1+x)+\frac{f''(1/x)}{x^4}+\frac{2f'(1/x)}{x^3}=0$ - esto puede ser continuado.
4. Una "analítica de la función" tiene un desarrollo en serie de Taylor en cualquier punto de que es convergente dentro de un no-cero de la región alrededor del punto. Así que ¿qué sería de la serie de Taylor apariencia en los puntos dados en la pista 1?

AÑADIÓ:

Una consideración de los límites también pueden ser útiles. De hecho, con una sustitución de $x=1/y-1$, usted tiene $$f\left(\frac{y}{1-y}\right)+f\left(\frac1y\right)=\frac1y-1$$

A continuación, podemos cancelar la $\frac1y$ término por primera colocación de $y$$x$, y los límites a partir de aquí puede ser útil.

Answer 3

$$f(x)+f\left(\frac{x+1}{x}\right)=\frac1x\\ f\left(\frac{x+1}{x}\right)+f\left(\frac{2x+1}{x+1}\right)-\frac1\phi=\frac{x}{x+1}-\frac1\phi\\ f\left(\frac{2x+1}{x+1}\right)+f\left(\frac{3x+2}{2x+1}\right)-\frac1\phi=\frac{x+1}{2x+1}-\frac1\phi$$ Si $f$ es continua en a $\phi$, luego $$f(x)=(\frac1x-\frac1{2\phi})-(\frac{x}{x+1}-\frac1{\phi})+(\frac{x+1}{2x+1}-\frac1{\phi})-...\\ =(\frac1x-\frac1{2\phi})-(1-\frac1{\phi}-\frac1{x+1})+(\frac12+\frac1{2(2x+1)}-\frac1{\phi})-...\\ =C+\frac1x+\frac1{x+1}+\frac1{2(2x+1)}+\frac1{3(3x+2)}+\frac1{5(5x+3)}+...$$
para $C-\frac1{2\phi}-\frac1{1\times2}-\frac1{3\times5}-\frac1{8\times13}-...$

Answer 4

$f\left(\dfrac{1}{x}\right)+f(x+1)=x$,

$f\left(\dfrac{1}{x-1}\right)+f(x)=x-1$

$\because$La solución general de % de $T(x+1)=\dfrac{1}{T(x)-1}$ es $T(x)=\dfrac{2(\sqrt5-1)^x+2\Theta(x)(-\sqrt5-1)^x}{(\sqrt5-1)^{x+1}+\Theta(x)(-\sqrt5-1)^{x+1}}$, donde $\Theta(x)$ es una arbitraria función periódica con período de unidad

$\therefore f\left(\dfrac{1}{\dfrac{2(\sqrt5-1)^x+2(-\sqrt5-1)^x}{(\sqrt5-1)^{x+1}+(-\sqrt5-1)^{x+1}}-1}\right)+f\left(\dfrac{2(\sqrt5-1)^x+2(-\sqrt5-1)^x}{(\sqrt5-1)^{x+1}+(-\sqrt5-1)^{x+1}}\right)=\dfrac{2(\sqrt5-1)^x+2(-\sqrt5-1)^x}{(\sqrt5-1)^{x+1}+(-\sqrt5-1)^{x+1}}-1$

$f\left(\dfrac{1}{\dfrac{(\sqrt5-1)^x(3-\sqrt5)+(-\sqrt5-1)^x(3+\sqrt5)}{(\sqrt5-1)^{x+1}+(-\sqrt5-1)^{x+1}}}\right)+f\left(\dfrac{2(\sqrt5-1)^x+2(-\sqrt5-1)^x}{(\sqrt5-1)^{x+1}+(-\sqrt5-1)^{x+1}}\right)=\dfrac{(\sqrt5-1)^x(3-\sqrt5)+(-\sqrt5-1)^x(3+\sqrt5)}{(\sqrt5-1)^{x+1}+(-\sqrt5-1)^{x+1}}$

$f\left(\dfrac{(\sqrt5-1)^{x+1}+(-\sqrt5-1)^{x+1}}{\dfrac{(\sqrt5-1)^x(\sqrt5-1)^2}{2}+\dfrac{(-\sqrt5-1)^x(\sqrt5+1)^2}{2}}\right)+f\left(\dfrac{2(\sqrt5-1)^x+2(-\sqrt5-1)^x}{(\sqrt5-1)^{x+1}+(-\sqrt5-1)^{x+1}}\right)=\dfrac{\dfrac{(\sqrt5-1)^x(\sqrt5-1)^2}{2}+\dfrac{(-\sqrt5-1)^x(\sqrt5+1)^2}{2}}{(\sqrt5-1)^{x+1}+(-\sqrt5-1)^{x+1}}$

$f\left(\dfrac{2(\sqrt5-1)^{x+1}+2(-\sqrt5-1)^{x+1}}{(\sqrt5-1)^{x+2}+(-\sqrt5-1)^{x+2}}\right)+f\left(\dfrac{2(\sqrt5-1)^x+2(-\sqrt5-1)^x}{(\sqrt5-1)^{x+1}+(-\sqrt5-1)^{x+1}}\right)=\dfrac{(\sqrt5-1)^{x+2}+(-\sqrt5-1)^{x+2}}{2(\sqrt5-1)^{x+1}+2(-\sqrt5-1)^{x+1}}$

$f\left(\dfrac{2(\sqrt5-1)^x+2(-\sqrt5-1)^x}{(\sqrt5-1)^{x+1}+(-\sqrt5-1)^{x+1}}\right)=\Theta(x)(-1)^x+\sum\limits_x\dfrac{(\sqrt5-1)^{x+2}+(-\sqrt5-1)^{x+2}}{2(\sqrt5-1)^{x+1}+2(-\sqrt5-1)^{x+1}}$, donde $\Theta(x)$ es una arbitraria función periódica con período de unidad

Del mismo modo, para $f\left(\dfrac{1}{x}\right)-f(x+1)=x$,

$f\left(\dfrac{2(\sqrt5-1)^x+2(-\sqrt5-1)^x}{(\sqrt5-1)^{x+1}+(-\sqrt5-1)^{x+1}}\right)=\Theta(x)+\sum\limits_x\dfrac{(\sqrt5-1)^{x+2}+(-\sqrt5-1)^{x+2}}{2(\sqrt5-1)^{x+1}+2(-\sqrt5-1)^{x+1}}$, donde $\Theta(x)$ es una arbitraria función periódica con período de unidad