deje $f(x,t):= \exp{(-(x+t))}(x+t)$, entonces se nos permite aplicar la fórmula de Itô. Sólo tenemos que calcular las siguientes derivadas: $\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial t},\frac{\partial^2 f}{\partial t^2}$ desde el segundo componente de la $f$ es continua y creciente, lo que ha finito y la variación de cualquier función continua de finito de variación de cero, con una variación cuadrática (y usted tiene que utilizar de Cauchy-Schwarz.)
He aquí lo que me sale:
$\frac{\partial f}{\partial x} = \exp{(-(x+t))}-\exp{(-(x+t))}(t+x)$
$\frac{\partial f}{\partial t} = \exp{(-(x+t))}-\frac{1}{2}\exp{(-(x+t))}(t+x)$
$\frac{\partial^2 f}{\partial t^2} = -2\exp{(-(x+t))}+\exp{(-(x+t))}(t+x)$
Por lo tanto:
$f(B_s,t)=\int_0^t{[\exp{(-(B_s+s))}-\exp{(-(B_s+s))}(s+B_s)]dB_s}\\
+ \int_0^t{[\exp{(-(B_s+s))}-\frac{1}{2}\exp{(-(B_s+s))}(s+B_s)]}ds +\int_0^t{[-\exp{(-(B_s+s))}+\frac{1}{2}\exp{(-(B_s+s))}(s+B_s)]d\langle B_s,B_s\rangle}= \int_0^t{[\exp{(-(B_s+s))}-\exp{(-(B_s+s))}(s+B_s)]dB_s}\\
+ \int_0^t{[\exp{(-(B_s+s))}-\frac{1}{2}\exp{(-(B_s+s))}(s+B_s)]}ds +\int_0^t{[-\exp{(-(B_s+s))}+\frac{1}{2}\exp{(-(B_s+s))}(s+B_s)]ds}$
La comparación de la $ds$ integral, esto nos lleva a:
$$f(B_s,t)=\int_0^t{[\exp{(-(B_s+s))}-\exp{(-(B_s+s))}(s+B_s)]dB_s}$$
Yo ahora uso el siguiente Teorema, que se puede encontrar en esta hoja de ejercicio, el Ejercicio 1a): http://www.math.ethz.ch/%7Egruppe3/HS11/MFF/MFF_2011_exercise08.pdf
Y aplicarlo a $M_t = B_t$ $H_s=\exp{(-(B_s+s))}-\exp{(-(B_s+s))}(s+B_s)$
saludos
matemáticas
