La incorporación de la $2$-torus menos un punto en $\mathbb{R}^2$ como un conjunto abierto?

Question

Deje $M^2$ $2$- torus menos un punto. Hay una incrustación de $M^2$ a $\mathbb{R}^2$ como un conjunto abierto?

Answer 1

Por la proyección estereográfica podemos dejar que esta incrustación de ser a $S^2$ lugar. Deje $B$ ser un pequeño disco cerrado centrado en el borrado del punto en $T^2 -\{p\}$, y deje $\gamma = \partial B$. Por el Jordan de la curva de teorema, la imagen de $\gamma$ bajo esta inclusión separa $S^2$ en dos discos, y por lo tanto la imagen de $T^2-int(B)$ bajo la incrustación es un circuito cerrado y abierto subconjunto de un disco cerrado y por lo tanto es un disco cerrado. Pero $\pi_1(T^2-int(B)) \cong F_2$ libre grupo en dos generadores, así que esta inclusión no existe.