Hay interpretaciones para la Gronwall la desigualdad en la vista de comparación teorema?

Question

Una de las formas de Gronwall de la desigualdad es que

Si $\alpha(x),u(x)$ son no-negativos funciones continuas en $[0,1]$, y $$\forall x\in [0,1], u(x)\leq C+\int_{0}^{x}[\alpha(s)u(s)+K]ds\;(C,K\geq0),$$ then we have that $u(x)\leq[C+Kx]e^{\int_{0}^{x}\alpha(s)ds}$.

Una forma de comparación es el teorema de la siguiente.

Suponga que $f(x,y),F(x,y)$ son continuas en un dominio $\Omega\supset [0,1]\times\mathbb{R}$ y $f(x,y)<F(x,y)(\forall (x,y)\in\Omega)$, $y=\phi(x),y=\varphi(x)$ son soluciones a $y'=f(x,y),y'=F(x,y)$ (respectivamente), y $\phi(0)=\varphi(0)$. Entonces tenemos que $\phi(x)<\varphi(x)\,(\forall x\in(0,1])$.

Hay interpretaciones para la Gronwall la desigualdad en vista de la comparación teorema? No estoy seguro de que si tienen conexiones, además del hecho de que Gronwall la desigualdad puede ser usado para demostrar el teorema de comparación.

Podría alguien ser tan amable de dar algunos comentarios sobre esto? Muchas gracias!

Answer 1

Tal vez esto es un comentario, pero no estoy calificado para hacer el comentario, así que escribí aquí. Para simplificar, se podría considerar la posibilidad de $K$$0$. Ahora estamos llevar a $u(x)\le C+\int_0^x a(s)u(s)ds$, "diferenciar" en ambos lados, $u'(x)\le a(x)u(x)$, veamos ahora otra ODA, $u'(x)=a(x)u(x)$, con valor inicial $u(0)=C$, podríamos aplicar comparación principio, ¿verdad?