Si $H$ es un grupo cíclico de orden, $H$ tiene exactamente dos elementos que la plaza de a $1.$

Question

Si $H$ es un grupo cíclico de orden, a continuación, $H$ tiene exactamente dos elementos que la plaza de a $1.$

Esto fue utilizado en una respuesta (Pete Clark respuesta) aquí: Demostrar que $x^{2} \equiv 1 \pmod{2^k}$ tiene exactamente cuatro soluciones incongruentes

pero no estoy seguro de por qué esto es cierto. Podría alguien por favor provea una prueba para completar algunos detalles adicionales?

Answer 1

Cada subgrupo de un grupo cíclico es cíclico.

En particular, en el subgrupo de elementos de orden, que divide en dos es cíclica, y esto implica claramente que hay un elemento de orden dos.

Answer 2

En $ℤ/2nℤ$, la ecuación de $2x = 0$ tiene las soluciones $x = 0$ $x = n$ y no hay otras soluciones. Cada grupo cíclico $H$ de su pedido es isomorfo a $ℤ/2nℤ$ algunos $n ∈ ℕ$, y una ecuación multiplicativa $x^2 = 1$ $H$ a continuación, se traduce a$2x = 0$$ℤ/2nℤ$.

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Si quieres probar esta directamente en $H$: Vamos a $h ∈ H$ ser un generador de $H$$n = \frac{|H|}{2}$. A continuación, el orden de $h$$2n$, lo $h^n·h^n = 1$. Junto a $1·1 = 1$, esta debe ser la única solución a $x^2 = 1$, porque para todos los demás $g ∈ G$, $g·g = h^k·h^k = h^{2k} ≠ 1$ para algunos $k ∈ \{1,…, n-1\}$, debido a la orden de $h$ es el mínimo entero positivo $m$ tal que $h^m = 1$.

Answer 3

En forma adicional $\ \Bbb C_{2n}\cong\, \Bbb Z/2n\ $ donde $\ x\cdot x = 1\,$ aditiva es $\ x\!+\!x = 0.\,$ Esto tiene solución

$2x\equiv 0\pmod{\! 2n}\!\iff\! 2n\mid 2x\!\iff\! n\mid x\!\iff\! x\equiv 0\pmod n\!\iff\! x\equiv\color{#c00}{0,n}\pmod{\!2n}$

Answer 4

$H$ cíclico de orden significa $H=\langle h\rangle$, $h^{2n}=1$ (e $2n$ es el mínimo de un entero). Así, los elementos de $H$ son de la forma $h^i,\;\;i=1,\dots,2n$.

Ahora el cuadrado de un elemento $h^i$ es lo $h^{2i}$ $1$ fib $i=n,2n$. Por lo tanto $H$ contiene exactamente dos elementos cuyo cuadrado es $1$: son$1$$h^n$.

Answer 5

Dado un entero $n$, una forma de ver tu pregunta es:

¿cuántas clases de congruencia $\xi$ $\mathbb Z/2n\mathbb Z$ son tales que $2\xi=0$?

Ahora, si $\xi$ es una congruencia de la clase en ese cociente, sabemos que existe un número entero $x$ $\xi$ tal que $0\leq x<2n$ y tenemos $2\xi=0$ $\mathbb Z/2x\mathbb Z$ fib $2n\mid 2x$$\mathbb Z$, lo que sucede exactamente al $n\mid x$. Claramente, hay dos posibles valores de$x$, para satisfacer esta condición, a saber,$0$$n$, así que la respuesta a la pregunta formulada anteriormente es de dos.