Centros de cocientes de Grupos de Lie

Question

Ejercicio 7.11 en Fulton de la Teoría de la Representación pide probar que:

(a) Demostrar que un determinado subgrupo normal de un conectada Mentira grupo $G$ está en el centro de la $Z(G)$

(b) Si $Z(G)$ es discreto, muestran que $G/Z(G)$ ha trivial centro.

Yo era capaz de resolver (a) con relativa facilidad (por $y \in N$, $N$ normal discretos subgrupo de $G$) teniendo en cuenta la asignación continua $\phi_y : G \to G$$ g \mapsto gyg^{-1}y^{-1}$. Desde que el mapa es continua y $G$ está conectado, su imagen debe estar conectado. Pero puesto que la imagen está contenida en $N$ que es discreto, entonces la imagen debe ser trivial, lo que implica que $gy = yg$$y \in Z(G)$$N \subset Z(G)$.

Sin embargo, estoy segura de cómo proceder en (b). Sé que $G/Z(G)$ es el mismo que el grupo de interior de automorfismos de a $G$, pero no sé si eso es ¿cómo debo proceder o si debo tomar una táctica diferente.

Gracias por la ayuda con este problema.

Después De Editar:

Desde que tengo que convertir esto en poco tiempo, quiero decir que al final he acabado usando un resultado de Stillwell "Ingenua Mentira Teoría" de que los estados que $Z(G)$ discretos implica que no hay nondiscrete normal subgrupos. Por lo tanto, es bastante fácil demostrar que $G/Z(G)$ es simple, lo que implica que su centro debe ser trivial. Sin embargo, Stillwell el resultado de los usos de la maquinaria que no se introdujo en Fulton del texto por un buen rato, así que todavía estoy satisfecho con el resultado. Finalmente decidí que hubo al menos tres posibles enfoques para el problema:

1. Lo que finalmente hizo, excepto en realidad el uso de la maquinaria disponible hasta este punto en Fulton para demostrar Stillwell del resultado y a partir de allí
2. Posiblemente algo que implican $G/Z(G) \cong Inn(G)$, aunque yo todavía no sé de qué
3. Demostrando que $G=[G,G]$ (el colector de $G$), a continuación, utilizando Grun del Lema a mostrar de inmediato que el centro de la $G/Z(G)$ es trivial, aunque no estoy seguro de que habiendo $Z(G)$ discretos incluso implica este hecho

Aun así me gustaría saber una solución digna, por lo que cualquier ayuda/sugerencias/pruebas todavía sería más que bienvenido.

Answer 1

Deje $Z=Z(G)$. Deje $a \in G$ tal que $aZ$ está en el centro de la $G/Z$. A continuación, para todos los $b \in G$ tenemos $abZ=baZ$, de modo que $ba=abz_b$ ($=az_bb$) para algunos $z_b \in Z$. Por lo tanto $bab^{-1}=az_b$. Considerar el subgrupo normal, $N$, generado por $a$$Z$. En particular, $N = \{a^nz \,|\, n \in \mathbb{Z};\;z \in Z\}$. Si usted puede demostrar que esto es discreto [$N = \cup_{n\in\mathbb{Z}} a^nZ$], tendrás $N \subseteq Z$ (en realidad $N=Z$) por la parte (a) y por lo $a\in Z$$aZ=Z$.