Teorema de Rolle

Question

Deje $f$ ser una función continua en a $[a,b]$ y diferenciable en a $(a,b)$ donde $a<b$. Supongamos $f(a)=f(b)$. Demostrar que no existe el número de $c_{1},c_{2},...,c_{2012}$ $\in$ $(a,b)$ la satisfacción de $c_{1} < c_{2} <...< c_{2012}$$f'(c_{1})+f'(c_{2})+...+f'(c_{2012})=0$.

Creo que tiene algo que ver con el Teorema de Rolle, a juzgar por la hipótesis. Sin embargo, me parece que no puede encontrar una manera de hacer frente a este problema. Cualquier ayuda es muy apreciada, gracias!

Answer 1

Sugerencia: Deje $x_k=a+\frac{k}{n}(b-a)$ y la nota que $$ 0=f(b)-f(a)=\sum_{k=1}^nf(x_k)-f(x_{k-1})=\frac{b-a}n\sum_{k=1}^n\frac{f(x_k)-f(x_{k-1})}{x_k-x_{k-1}} $$ Utilizar El Valor medio Teorema (que es un corolario del Teorema de Rolle) en cada intervalo de $[x_{k-1},x_k]$.

Answer 2

La mejor y más directa ha sido la solución dada por robjohn. Vamos a construir otro explícito posible prueba por iteración si no desea utilizar el valor medio teorema de derivados. Si $f$ continua ha derivado en un barrio de uno de sus puntos críticos, entonces es casi directo para conseguir ese $c_1<...<c_n$ cualquier $n\in 2\mathbb{Z}^+$ usando el teorema del valor intermedio para funciones continuas. Si $f'$ no es continua en un barrio de el punto crítico, entonces más complicado argumentos son necesarios, pero creo que el proceso se explica a continuación te puede dar una idea de lo explorar generalizar para el caso. Para entender la idea de echar un vistazo a la (mal hecho) imagen:

(Advertencia: Como notado por el Paisaje en los comentarios, este argumento sólo funciona cuando la concavidad/convexidad no cambia alrededor de $c_0$, es decir, el punto crítico no es un punto de inflexión). Por el teorema de Rolle deje $c_0\in (a,b)$ donde $f'(c_0)=0$ y deje $[c_0-d,c_0+d]\subseteq (a,b)$ ser nuestro intervalo del punto crítico donde estamos asumiendo $f'$ es continua. Desde $f$ tiene al menos un punto crítico en el intervalo, $c_0$, se puede restringir aún más a un barrio cerrado de la misma, $[c_0-\delta,c_0+\delta]$ $\delta>0$ pero pequeño, por lo que $f'$ tiene distinto signo en los extremos del intervalo, es decir, $f'(c_0-\delta)\cdot f'(c_0+\delta)<0$ (esto es intuitivamente claro como cualquier función de la satisfacción de $f(a)=f(b)$ continuo con derivados alrededor de su punto crítico dentro de ese intervalo se parece a $\frown$ o $\smile$ por un tiempo suficientemente pequeño barrio). Entonces por el teorema del valor intermedio en $f'$ en ese intervalo, $f'$ debe tomar todos los valores entre a$f'(c_0-\delta)$$f'(c_0+\delta)$. Ya que son de diferente signo, supongamos que es $f'(c_1)>0$$c_1:=c_0-\delta$, por lo que tiene un intervalo en la imagen de $f'$ $[f'(c_0+\delta),f'(c_0-\delta)]$ tal que $$f'(c_0+\delta)<0<f'(c_0-\delta).$$ One of them is also bigger or equal in absolute value than the other, suppose it is $f'(c_0+\delta)$ (cf. picture above). Thus, by the intermediate value theorem, there must exist $c_2\in [c_1, c_0+\delta]$ such that $f'(c_1)>0>f'(c_2):=-f'(c_1)>f'(c_0+\delta)$, i.e. you get a new subinterval $[c_1,c_2]\ni c_0$ where $f'(c_2)=-f'(c_1)\Rightarrow f'(c_1)+f'(c_2)=0$. Since this new interval still satisfies the conditions of the intermediate value theorem for $f'$, you may iterate this process for smaller subintervals of it, containing $c_0$, so you can always pick new $c_{i+1}$ at the other side of $c_0$ such that $f'(c_{i+1})=-f'(c_i)$. After getting $n\2\mathbb{Z}^+$ of them (you need a even number so that you get pairs of points where your derivative takes opposite values so that they cancel in the sum), rename the set $\{c_i\}_{i=1}^n$ in increasing order, so that eventually $f'(c_1)+\cdots+f'(c_n)=0$, ya que siempre puede ser emparejado de nuevo en valores opuestos por la construcción.

Answer 3

Sugerencia: Dado $n\in\mathbb{N}$, considere la función $g_n(x)=\sum_{k=0}^{n-1}f(a+\frac{(b-a)(x+k)}{n})$, $x\in[0,1]$.